Меню

Что такое комплексная амплитуда переменного тока

Метод комплексных амплитуд

date image2015-05-26
views image18944

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Расчет линейных электрических цепей переменного тока

Учебно-методическая разработка к выполнению контрольных заданий

Г. Пенза 2005 г.

Даны методические указания к выполнению расчетно-графических работ по анализу цепей переменного тока.

Работа выполнена на кафедре «Электроника и электротехника» Пензенской государственной технологической академии и предназначена для студентов специальностей 2201, 2102, 1201, 0706, 1706, 3302, 0305.

Ил. 14, табл. 5, библ. назв. 3.

Составители: Ю.А. Смагин, Л.М. Вдовина, Фролов Г.В.

Рецензент: Зав. каф. «ВМиС» ПГТА, процессор Сальников И.И.

Общие методические указания

Расчет линейных цепей переменного тока сводится к расчету токов в ветвях и напряжений на отдельных участках цепи. При одном источнике электрической энергии в схеме основными расчетными уравнениями являются уравнения, составленные на основе законов Ома и Кирхгофа.

Широкое распространение на практике получил метод комплексных амплитуд, использующий алгебру комплексных чисел и позволяющий применять все методы расчетов цепей постоянного тока к цепям переменного тока.

Метод комплексных амплитуд

Метод комплексных амплитуд основан на представлении синусоидальных функций через экспоненты с мнимым аргументом. Аналитически комплексное число можно представить в алгебраической, тригонометрической и показательной форме:

где и — вещественная и мнимая составляющая, — модуль комплексного числа, — аргумент комплексного числа.

Геометрически комплексное число представляется вектором на комплексной плоскости с прямоугольными (рис. 1) или полярными координатами (рис. 2).

Рис. 1 Рис. 2

Модуль и аргумент комплексного числа можно найти из прямоугольного треугольника (рис. 1):

Разложим по формуле Эйлера выражение :

На плоскости комплексная амплитуда изображается вектором, аргумент которого равен начальной фазе , а длина пропорциональна вещественной амплитуде (рис. 3).

Комплекс действующего значения равен комплексной амплитуде, деленной на .

Комплексное сопротивление представляет собой отношение комплексных амплитуд напряжения и тока:

— модуль реактивного сопротивления;

— модуль индуктивного сопротивления;

— модуль емкостного сопротивления;

— модуль комплексного сопротивления.

Закон Ома для цепи синусоидального тока запишется в виде: ,

где — комплекс действующего значения тока;

— комплекс действующего значения э.д.с.;

Первый закон Кирхгофа для цепи синусоидального тока записывается, как .

Алгебраическая сумма комплексных амплитуд токов, сходящихся в узле, равна нулю.

Второй закон Кирхгофа выражается, как

Алгебраическая сумма комплексных амплитуд падений напряжений на элементах контура равна алгебраической сумме комплексных амплитуд э.д.с. источников этого контура.

В таблице 1 приведены элементы , , , уравнения для мгновенных значений и , связь между ними, закон Ома, векторные диаграммы.

Резисторный Индуктивный Емкостной
Мгновенные значения и . . . .
Связь между и . ; ; . ; ; . ; ; .
Закон Ома в комплексной форме. или , где — комплексное сопротивление; — комплексная проводимость. или , где — индуктивное сопротивление. или , где — емкостное сопротивление.
Векторная диаграмма , . . ; . ; .

Правильность расчетов линейных электрических цепей переменного тока проверяется по балансу активной мощности.

где — комплекс действующего значения э.д.с.;

— сопряженный комплекс действующего значения тока, например, , то ;

— действующее значение тока в ветви с активным сопротивлением .

Мощность в цепи переменного тока можно подсчитать и по действующим значениям тока и напряжения.

где — активная мощность, [Вт];

— реактивная мощность, [ВАр];

— полная мощность, [ВА];

— действующие значения напряжения и тока соответственно;

— угол сдвига фаз между напряжением и током, (рис. 4).

Источник

Комплексные амплитуды, комплексные действующие значения, комплексы действующих значений

Комплексные амплитуды напряжения

U ˙ m = U m e j α u

I ˙ m = I m e j α i

при анализе установившегося синусоидального режима соответствуют сигналам синусоидальной формы напряжения

u(t) = Umcos(ωt + αu)

i(t) = Imcos(ωt + αi).

Комплексные амплитуды представляют векторами на комплексной плоскости, как комплексное число (рис. 21)

A ˙ = A e j γ = A cos γ + j A sin γ = a + j b ,

где модуль (длина вектора)

A = | A ˙ | = a 2 + b 2 ,

γ = a r c t g b a ,

действительная часть комплексного числа

Re A ˙ = A cos γ = a ,

мнимая часть комплексного числа

Im A ˙ = A sin γ = b ,

j 2 = − 1, j ⋅ ( − j ) = − j 2 = − ( − 1 ) = 1, 1 j = j j 2 = j − 1 = − j .

Сопряженное комплексное число

A * = A e − j γ = A cos ( − γ ) + j A sin ( − γ ) = A cos γ − j A sin γ = a − j b ,

где положительный отсчет угла γ производят против часовой стрелки от «правого горизонта».

Комплексные амплитуды используют при обосновании метода комплексных амплитуд для расчета установившегося синусоидального режима

u ( t ) = Re U ˙ m e j ω t = Re U m e j α u e j ω t = Re U m e j ( ω t + α u ) = U m cos ( ω t + α u ) ; i ( t ) = Re I ˙ m e j ω t = Re I m e j α i e j ω t = Re I m e j ( ω t + α i ) = I m cos ( ω t + α i ) ,

где e j ω t – оператор вращения, U ˙ m e j ω t , I ˙ m e j ω t – вращающиеся векторы, поскольку их суммарная фаза γ = ωt + α равномерно увеличивается с увеличением времени t.

Комплексные действующие значения или комплексы действующих значений:

комплексное действующее напряжение или комплекс действующего напряжения

U ˙ = U e j α u = U ˙ m 2 = U m 2 e j α u ,

комплексный действующий ток или комплекс действующего тока

I ˙ = I e j α i = I ˙ m 2 = I m 2 e j α i .

Источник



Символический (комплексный) метод расчета цепей переменного тока

ads

Одним из способов расчета цепей переменного тока является комплексный, или еще как говорят, символический метод расчета. Этот метод применяется при анализе схем с гармоническими ЭДС, напряжениями и токами. В результате решения получают комплексное значение токов и напряжений, используя для решения любые методы (эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потенциалов и т.п.). Но для начала необходимо иметь понятие, в каких именно формах может представляться синусоидальная величина. 1. Одна из форм представления – это вращающийся вектор (см. рис.1):

Рис.1. Вращающийся вектор

С помощью рисунка ясно видно, как с течением времени меняется значение синусоидальной величины. В нашем случае – это величина а на графике, которая может быть, например, входным напряжением. Величина имеет некоторое начальное значение при t = 0 при начальной фазе φ

имеет положительное максимальное значение при угле ωt3, когда при времени t3 сумма ωt3 + φ = 90° и соответственно,

имеет отрицательное максимальное значение при угле ωt7, когда при времени t7 сумма углов ωt7 + φ = 270° и, соответственно,

и имеет два нулевых значения при ωtn + φ = 0, когда ωtn = —φ (на рис.1 эта область не показана и находится слева от начала координат)

и имеет нулевое значение при угле ωt11, когда при времени t11 сумма ωt11 + φ = 360° и соответственно,

Именно по такому закону и меняется привычное нам переменное напряжение 220 В, изменяясь по синусоидальному закону от значения 0 В до максимальных 311 В и обратно.

Читайте также:  Магнитные цепи электрических аппаратов переменного тока

2. Другая форма представления – это комплексное число. Чтобы представить ранее рассмотренную форму представления синусоидальной величины, которая имеет некоторую начальную фазу φ, создают комплексную плоскость в виде графика зависимости двух величин (рис.2)

Комплексное число на комплексной плоскости

Рис.2. Комплексное число на комплексной плоскости

Длина вектора Am на такой комплексной плоскости равна амплитуде (максимальному значению) рассматриваемой величины. С учетом начальной фазы φ такое число записывают как .

На практике при использовании для расчетов символического (комплексного) метода расчета используют для некоторых удобств не амплитудное значение величины, а так называемое действующее значение. Его величина в корень из двух раз меньше амплитудного и обозначается без индекса m, т.е. равна

действующее значение

На рисунке выше этот вектор также показан.
Например, при том же нашем напряжении в сети, максимальное значение синусоидально изменяющегося напряжения равно 311 В, а действующее значение, к значению которого мы привыкли

Действующее значение напряжения

При работе с комплексными числами и расчетов применяют различные формы записи комплексного числа. Например, при сложении комплексных чисел удобнее использовать алгебраическую форму записи таких чисел, а при умножении или делении – показательную форму записи. В некоторых случаях пишут тригонометрическую форму.
Итак, три формы записи комплексного числа:

1) показательная форма в виде

Показательная форма комплексного числа

2) тригонометрическая форма в виде

Тригонометрическая форма комплексного числа

3) алгебраическая форма

Алгебраическая форма комплексного числа

где ReA — это действительная составляющая комплексного числа, ImA — мнимая составляющая.

Например, имеем комплексное число в показательной форме вида

в тригонометрической форме записи это запишется как

при подсчете получим число, плавно переходящее в алгебраическую форму с учетом того, что

В итоге получим

При переходе от алгебраической формы к показательной комплексное число вида

переходит к показательному виду по следующим преобразованиям

Таким образом, и получим

Перейдем к рассмотрению несложных примеров использования символического, или по-другому, комплексного метода расчета электрических цепей. Составим небольшой алгоритм комплексного метода:

      • Составить комплексную схему, заменяя мгновенные значения ЭДС, напряжений и токов их комплексным видом
      • В полученной схеме произвольно выбирают направления токов в ветвях и обозначают их на схеме.
      • При необходимости составляют комплексные уравнения по выбранному методу решения.
      • Решают уравнения относительно комплексного значения искомой величины.
      • Если требуется, записывают мгновенные значения найденных комплексных величин.

Пример 1. В схеме рис.3 закон изменения ЭДС e = 141sin*ωt. Сопротивления R1 = 3 Ом, R2 = 2 Ом, L = 38,22 мГн, С = 1061,6 мкФ. Частота f = 50 Гц. Решить символическим методом. Найти ток и напряжения на элементах. Проверить 2-ой закон Кирхгофа для цепи.

Схема с последовательным соединением элементов

Рис.3. Схема с последовательным соединением элементов

Составляем комплексную схему, обозначив комплексные токи и напряжения (рис.4):

Схема с комплексными обозначениями

Рис.4. Схема с комплексными обозначениями

По закону Ома ток в цепи равен

Закон ома в комплексной форме

где U — комплексное входное напряжение, Z — полное сопротивление всей цепи. Комплекс входного напряжения находим как

Пояснение: здесь начальная фаза φ = 0°, так как общее выражение для мгновенного значения напряжение вида при φ = 0° равно

Соответственно, комплекс входного напряжения в показательной форме запишется как

Полное комплексное сопротивление цепи в общем виде

Находим комплексное сопротивление индуктивности

Находим комплексное сопротивление емкости

Соответственно, общее комплексное сопротивление цепи

Комплексные напряжения на элементах

Проверяем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура, т.е. должно выполняться равенство

С небольшим расхождением из-за округлений промежуточных вычислений всё верно.

Пример 2. В электрической цепи (рис.5) однофазного синусоидального тока, схема и параметры элементов которой заданы для каждого варианта в таблице, определить:
1) полное сопротивление электрической цепи и его характер;
2) действующие значения токов в ветвях;
3) показания вольтметра и ваттметра;

      Исходные данные: Е = 220 В, f = 50 Гц, L1 = 38,2 мГн, R2 = 6 Ом, С2 = 318 мкФ, L2 = 47,7 мГн, R3 = 10 Ом, С3 = 300 мкФ.

Рис.5.Цепь однофвзного синусоидального тока

Решение:
1. Находим комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:
Учитываем, что

Комплексное сопротивление первой ветви:

Комплексное сопротивление второй ветви:

Комплексное сопротивление третьей ветви:

Общее сопротивление цепи

— нагрузка носит активно-индуктивный характер

2. Находим действующие значения токов в ветвях:

Рис.6. Схема с обозначенными комплексными токами

Действующие значения, соответственно,

3. Определим показания приборов:
Вольтметр подключен по схеме параллельно источнику питания. Соответственно его показание равно:
U=220 В
Ваттметр включен токовой обмоткой в разрыв третьей ветви, а обмоткой напряжения также к выводам третьей ветви, измеряя, таким образом, активную мощность третьей ветви. Эта мощность равна мощности на сопротивлении R3. Его показания:

Источник

МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

5.1. Комплексная амплитуда гармонического сигнала

Комплексная амплитуда является комплексным числом ( — мнимая единица), определяется только амплитудой и начальной фазой сигнала и не зависит от его частоты.

Комплексная амплитуда обозначается тем же символом, что и амплитуда сигнала, но с точкой сверху(в литературе используются и другие маркирующие отметки, например, горизонтальная черта сверху символа).

Например, если мгновенное значение гармонического напряжения равно В, то его комплексная амплитуда имеет вид В или В.

Если запись сигнала отличается от формы (5.1) то необходимо провести соответствующие тригонометрические преобразования, представленные в табл. 5.1.

Если гармоническое напряжение имеет вид мВ, то после преобразования получим мВ, а комплексная амплитуда будет равна мВ.

5.2. Операции с комплексными числами

Комплексные числа могут быть записаны в двух формах: алгебраической и показательной.

В алгебраической форме комплексное число записывается в виде

где — действительная, а — мнимая части комплексного числа, .

В показательной форме комплексное число представляется выражением

величину называют модулем, а — аргументом комплексного числа.

От алгебраической формы можно перейти к показательной, модуль комплексного числа равен

Аргумент комплексного числа, как и начальная фаза гармонического сигнала (подраздел 2.2), величина многозначная, к ней можно добавить (или вычесть) любое число раз. Для обеспечения однозначности аргумента комплексного числа его значения выбирают в диапазоне, например, от до или от 0 до .

Показательную форму комплексного числа можно заменить алгебраической с помощью соотношений

Читайте также:  Схема подключения генератора постоянного тока с параллельной обмоткой возбуждения

Они вытекают из известной в математике формулы Эйлера,

Например, если комплексное число в алгебраической форме равно , то в показательной форме его можно записать в виде

Если комплексное число равно , то в показательной форме получим

Для комплексного числа в показательной форме в виде его алгебраическая форма имеет вид

С комплексными числами проводятся все четыре арифметические действия.

При сложении и вычитании комплексных чисел и в алгебраической форме получим

Если числа заданы в показательной форме, то перед сложением или вычитанием их необходимо преобразовать в алгебраическую форму.

Операции умножения и деления удобнее выполнять в показательной форме, когда и , при этом при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются,

а при делении делятся модули и вычитаются аргументы,

Умножение можно провести и с алгебраической формой сомножителей по известным правилам с учетом того, что ,

При делении комплексных чисел в алгебраической форме используется операция устранения комплексности в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя дроби на число, комплексно сопряженное знаменателю. Для заданного числа комплексно сопряженное число

равно , то есть отличается от противоположным знаком при мнимой части. Произведение двух комплексно сопряженных чисел всегда равно квадрату их модуля,

Тогда при делении в алгебраической форме получим

Рассмотрим пример и , тогда

Эти операции можно провести и в показательной форме, тогда

Как видно, полученные результаты совпадают.

Полезно запомнить следующие равенства, вытекающие из формулы Эйлера (5.7),

Вычисления с комплексными числами удобно проводить на персональной ЭВМ с помощью пакета программ MathCAD.

5.3. Законы Ома и Кирхгофа для комплексных амплитуд

токов и напряжений

Законы Ома и Кирхгофа применимы в своих классических формулировках для комплексных амплитуд токов и напряжений.

Знаки в алгебраических суммах определяются выбранными положительными направлениями токов и напряжений и направлением обхода контура.

5.4. Комплексные сопротивления и проводимости

Значения комплексных сопротивлений и проводимостей элементов цепи R, L и C приведены в табл. 5.2 (запомните эти формулы).

R L C
Комплексное сопротивление
Комплексная проводимость

Комплексные сопротивление и проводимость сопротивления всегда действительны (мнимая часть равна нулю), а индуктивности и емкости – мнимые(действительная часть равна нулю).

Для комплексного сопротивления из закона Ома (5.14) можно записать

где — сдвиг фаз между напряжением и током в элементе. Для сопротивления напряжение и ток совпадают по фазе, то есть и из (5.17) величина действительна.

В индуктивности напряжение опережает по фазе ток на 90 0 (на радиан), следовательно , тогда и величина комплексного сопротивления индуктивности оказывается с нулевой действительной и положительной мнимой частями. В емкости , и ее комплексное сопротивление имеет нулевую действительную и отрицательную мнимую части.

Аналогичный анализ проводимости элементов цепи проведите самостоятельно.

5.5. Комплексные сопротивление и проводимость

Полные комплексные сопротивления (и проводимости) двухполюсного участка цепи с произвольным соединением элементов определяются по тем же правилам, что и для цепи постоянного тока:

— комплексное сопротивление последовательного соединения двухполюсников равно сумме их комплексных сопротивлений;

— комплексная проводимость параллельного соединения двухполюсников равна сумме их комплексных проводимостей.

Например, сопротивление последовательной цепи, показанной на рис. 5.1а при кОм и пФ на частоте кГц равно кОм,

а проводимость параллельной Рис. 5.1.

цепи на рис 5.1б —

Зная комплексное сопротивление цепи, можно определить ее комплексную проводимость и наоборот,

Например, для последовательной цепи на рис. 5.1а ее проводимость равна

Расчет проведен методом устранения комплексности знаменателя путем умножения числителя и знаменателя дроби на множитель, комплексно-сопряженный знаменателю.

Можно провести вычисление проводимости путем преобразования комплексного сопротивления из алгебраической формы в показательную,

Тогда для проводимости получим

Комплексное сопротивление цепи со смешанным соединением элементов определяется следующим образом:

— в цепи выделяется фрагмент с простым (последовательным или параллельным) соединением элементов и определяется его сопротивление или проводимость;

— фрагмент заменяется эквивалентным элементом, в полученной цепи вновь выделяется простой фрагмент и повторяется предыдущее действие;

— эти действия повторяются до тех пор, пока цепь не трансформируется в один элемент с соответствующим сопротивлением или проводимостью.

Рассмотрим цепь, схема которой показана на рис. 5.2 при кОм, нФ, рад/с и определим ее комплексное сопротивление . В цепи выделяется простой параллельный фрагмент из элементов

и определяется его сопро-

тивление , равное Рис. 5.2

Тогда параллельный фрагмент заменяется эквивалентным элементом с сопротивлением и схема цепи принимает вид, показанный на рис. 5.3.

Для полученной последовательной цепи ее сопротивление равно

Подставляя исходные данные, получим Рис. 5.3

5.6. Характеристики комплексного сопротивления

Полное комплексное сопротивление в показательной форме можно записать в виде

Модуль комплексного сопротивления равен отношению амплитуд (действующих значений) напряжения и тока,

Аргумент комплексного сопротивления равен сдвигу фаз между напряжением и током,

Комплексная проводимость в показательной форме имеет вид

ее модуль равен отношению амплитуд (действующих значений) тока и напряжения,

а аргумент – сдвигу фаз между током и напряжением,

Таким образом, комплексное сопротивление и проводимость характеризуют взаимосвязь амплитуд и начальных фаз напряжения и тока.

Представим комплексное сопротивление в алгебраической форме,

где — активная а, — реактивная составляющие комплексного сопротивления. Все величины в (5.25) измеряются в Омах.

Рассмотрим в качестве примера сопротивление цепи, показанной на рис. 5.2.

Как видно, активная составляющая сопротивления равна

и обе зависят от частоты сигнала.

Зависимости от частоты активной и реактивной составляющих сопротивления для цепи рис. 5.2 показаны на рис. 5.4. На низких частотах емкость является разрывом цепи и сопротивление Ом. На высоких частотах емкость представляет собой короткое замыкание (ее сопротивление стремится к нулю) и сопротивление цепи равно Ом. И в том и другом случаях реактивное сопротивление стремится к нулю.

При рад/с получается ранее вычисленное значение Ом.

Аналогичный анализ проводимости цепи, показанной на рис. 5.2, проведите самостоятельно.

5.7. Комплексная мощность

Это комплексная величина с действительной и мнимой частями,

Комплексная мощность измеряется в ВА (вольт-амперах).

Как видно, действительная (активная) составляющая

комплексной мощности представляет собой среднюю мощность , потребляемую двухполюсником,

Читайте также:  Двигатели постоянного тока с высокой частотой вращения

Как уже отмечалось, активная мощность измеряется в ваттах.

Мнимая (реактивная) составляющая комплексной мощности равна

и характеризует процессы накопления и обмена энергией с источником в реактивных элементах цепи. Эта мощность не расходуется цепью и измеряется в ВАр (вольт-амперы реактивные), она численно равна максимальной скорости запасания энергии в цепи. Реактивная мощность может быть положительной (при ), при этом энергия запасается в магнитном поле индуктивностей, или отрицательной (при ) при накоплении энергии в электрическом поле емкостных элементов.

Модуль комплексной мощности равен

и измеряется в ВА. Величину называют полной мощностью, она определяется активной и реактивной мощностями,

величину называют коэффициентом мощности. При потребляемая мощность максимальна и равна полной мощности , а реактивная мощность равна нулю.

Если для вычисления мощности используются действующие значения напряжения и тока, то в приведенных соотношениях удаляется множитель .

5.8. Расчет мощности, потребляемой двухполюсником

Зная комплексные амплитуды напряжения и тока, согласно (5.29), можно определить комплексную мощность, например, при В и А получим, что сдвиг фаз между напряжением и током равен . Тогда комплексная мощность равна

активная составляющая (потребляемая мощность) —

а полная мощность —

Отрицательная реактивная мощность свидетельствует о том, что цепь накапливает энергию в емкостном элементе. Так как коэффициент мощности равен , то потребляемая мощность существенно меньше полной.

Мощности можно определить, зная комплексную амплитуду напряжения (или тока) и комплексное сопротивление (проводимость) цепи.

Рассмотрим цепь на рис. 5.2 с подключенным к ней идеальным источником гармонического напряжения , показанную на рис. 5.5.при кОм, нФ, В. Ком-

плексная амплитуда ЭДС Рис. 5.5

источника равна В,

а комплексное сопротивление цепи было определено ранее,

По закону Ома найдем комплексную амплитуду тока ,

а полная комплексная мощность равна

или в алгебраической форме

Таким образом, потребляемая цепью мощность равна Вт, реактивная мощность — ВАр, а полная мощность — ВА.

На практике наибольший интерес представляет определение мощности, которую потребляет цепь от одного или нескольких источников. Необходимо помнить, что в электрической цепи мощность потребляется только активными элементами – сопротивлениями.

Потребляемую мощность в цепи, содержащей несколько сопротивлений, можно определить, если известны амплитуды (действующие значения) токов или напряжений на этих элементах.

Расчет токов и напряжений на элементах цепи будет рассмотрен в дальнейшем.

В цепи с комплексным сопротивлением при протекании через нее тока с амплитудой потребляемая мощность равна

Аналогично в цепи с комплексной проводимостью при наличии на ней напряжения с амплитудой потребляемая мощность будет равна

5.9. Максимизация потребляемой мощности

В инженерной практике часто возникает необходимость обеспечить максимум активной мощности, передаваемой от источника сигнала в нагрузку.

В качестве примеров можно выделить задачу максимизации мощности на валу электродвигателя при питании его от силовой сети. Аналогичная проблема возникает при передаче высокочастотной мощности от выходного усилителя радиопередатчика в антенну для излучения электромагнитных волн (высокочастотная мощность стоит очень дорого как с экономической, так и с технической точки зрения).

Схема электрической цепи показана на рис. 5.6. В цепь включен реальный источник напряжения с комплексной амплитудой ЭДС и внутренним комплексным сопротивлением , к которому подключена нагрузка с комплексным сопротивлением .

Необходимо подоб- Рис. 5.6.

Рать такое сопротивление

нагрузки, при котором она потребляла бы от источника максимальную мощность.

Комплексная амплитуда тока в цепи равна

тогда для амплитуды тока получим

в выражение для потребляемой мощности примет вид

так как мощность потребляется только в активном сопротивлении .

Необходимо определить максимум (5.39) по двум независимым переменным – активному и реактивному сопротивлениям нагрузки. Как видно, величина присутствует только в знаменателе дроби и сумма возводится в квадрат. Минимум знаменателя будет иметь место при условии

Таким образом, реактивное сопротивление нагрузки должно быть по модулю равно реактивному сопротивлению источника и иметь противоположный характер (если у источника сопротивление индуктивно, то у нагрузки оно должно быть емкостным и наоборот). В результате получим

Максимум (5.41) по можно найти, вычислив производную этой функции и приравняв ее нулю. В результате получим (проделайте это самостоятельно) условия, при которых

потребляемая нагрузкой мощность максимальна,

и соответствующую величину мощности

Зависимости мощности в нагрузке от при (сплошная линия) и Ом (пунктирная линия) показаны на рис. 5.7 при Ом и В.

Как видно, при отклонении от оптимальных условий (5.42) потребляемая нагрузкой мощность замет но снижается. Рис. 5.7

циент полезного действия (КПД) – отношение мощности в нагрузке к мощности, потребляемой от источника сигнала, при условии (5.40) равной

тогда КПД равен

Зависимость КПД от активной составляющей сопротивления нагрузки показана на рис. 5.8. Как видно, при условии передачи максимума мощности в нагрузку КПД равен 0,5 (50%), то есть половина мощности источника потребляется его же внутренним со-

Рис. 5.8 противлением (происходит на-

грев источника). При повышении КПД увеличивается, однако при этом снижается мощность, передаваемая в нагрузку.

5.10. Задания для самостоятельного решения

Задание 5.1. Определите комплексные амплитуды гармонических сигналов

Задание 5.2. По заданной комплексной амплитуде определите мгновенные значения сигналов, их амплитуды и начальные фазы

Задание 5.3. Вычислите сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел и , результаты запишите в алгебраической и показательной формах.

4-j3 7-j4 -j 20+j3
-8+j2 -j5 j -1-j 5+j2

Задание 5.4. Для чисел из задания 5.3 вычислите их модуль и аргумент, а также обратную величину .

Задание 5.5. Найдите полное комплексное сопротивление и проводимость показанных на рис. 5.9 цепей при кОм, мГн и пФ на частоте рад/c.

Задание 5.6. Получите общие формулы для полного комплексного сопротивления цепей из задания 5.5. Найдите формулы его модуля, аргумента, активной и реактивной составляющих, постройте их графики в зависимости от частоты сигнала.

Задание 5.7. Вычислите мощность, потребляемую показанной на рис.5.10 цепью при ЭДС источника В,

кОм и нФ. Рис. 5.10

Задание 5.8. Определите мощность, потребляемую показанной на рисунке цепью от источника тока мА при кОм, мГн и нФ.

Источник