Меню

Комплексные функции комплексного переменного тока

Функции комплексного переменного

Определение функции комплексной переменной ничем не отличается от общего определения функциональной зависимости. Напомним,что областью на плоскости мы называем любое открытое связное множество точек этой плоскости. Область односвязна, если любая подобласть, ограниченная непрерывной замкнутой самонепересекающейся кривой, лежащей в этой области, целиком принадлежит области.
Рассмотрим две плоскости комплексных чисел: C = <z| z = x + iy> и W = <w| w = u + iv>. Пусть в плоскости С задана область D и задано правило, ставящее в соответствие каждой точке zD определённое комплексное число wW. В этом случае говорят, что на области D определена однозначная функция w = f(z) (или определено отображение f : zw). Область D называется областью определения функции, множество <w| wW, w = f(z), zD> — множеством значений функции (или образом области D при отображении f.
Если каждому zD ставится в соответствие несколько значений wW ( т.е. точка z имеет несколько образов), то функция w = f(z) называется многозначной.
Функция w = f(z) называется oднолистной в области DC, если она взаимно однозначно отображает область D на область GW (т.е. каждая точка zD имеет единственный образ wG, и обратно, каждая точка wG имеет единственный прообраз zD.
Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной
.

Так как w = u + iv, z = x + iy, то зависимость w = f(z) можно записать в виде w = u + iv = f(z) = f(x + iy) = Re f(x+ iy) + i Im f(x+ iy). Таким образом, задание комплекснозначной функции w = f(z) комплексной переменной z равносильно заданию двух действительных функций u = u(x, y) = Re f(z), v = v(x, y) = Im f(z) двух действительных переменных х, у.
Примеры
: 1. w = z 3 . Выражаем z 3 через х,у: z 3 = (x + iy) 3 = x 3 + 3 x 2 i y + 3 xi 2 y 2 + i 3 y 3 =

2. w = e z . Здесь
Дальше многие свойства ФКП (функций комплексной переменной) мы будем формулировать в терминах её действительной части u(x, y) и мнимой части v(x, y), поэтому техника выделения этих частей должна быть хорошо отработана.
Геометрическое изображение ФКП
.

Задание функции w = f(z) как пары u = u(x, y), v = v(x, y) наводит на мысль изображать ФКП как пару поверхностей u(x, y), v(x, y) в трёхмерном пространстве, однако этот способ неудобен, так как он не позволяет осмыслить пару (u, v) как комплексное число. Иногда изображают поверхность , которую называют рельефом функции w = f(z). На эту поверхность наносят линии уровня функции Arg f(z) ; при наличии определенного опыта этой информации достаточно для того, чтобы составить представление об изменении функции в полярных координатах. Однако универсальный способ изображения ФКП состоит в том, что рисуют множества, соответствующие друг другу при рассматриваемом отображении. Чаще всего берут координатные линии (декартовых или полярных координат) и находят их образы.
Примеры
. 1. Линейная функция w = a z + b, где a = a1 + ia2 = |ae i arg a , b = b1 + ib2 — фиксированные комплексные числа, a1, b1 — их действительные части, a2, b2 — их мнимые части.
Представим эту функцию в виде суперпозиции двух функций: w1 = az и w = w1 + b. Отображение zw1 = az, согласно интерпретации умножения чисел в тригонометрической форме, приводит к увеличению (уменьшению) аргумента числа z наarg a и растяжению (сжатию) его модуля в | a | раз; отображение w1w = w1 + bприводит к сдвигу точки : w1 на вектор : b(b1, b2). Таким образом, линейная функцияw = a z + b растягивает (при |a| ≥ 1) каждый вектор z в | a | раз ( или сжимает его в раз при | a |
2. Степенная функция w = z 2 . Рассмотрим эту функцию в верхней полуплоскости C + = <z | y = Im z >0>. В показательной форме w = z 2 = (|ze i· arg z) 2 = |z | 2 ·e 2i arg z . Следовательно, полуокружность<|z| = r, 0 2 , 0 + перейдёт в плоскость W с выброшенной положительной полуосью.
Представим это отображение в декартовых координатах. Так как w = z 2 = (x + iy) 2 = x 2 — y 2 + 2 ixy, тоu(x, y) = x 2 — y 2 , v(x, y) = 2 xy. Найдём образы координатных линий. Прямая y = y перейдёт в кривую, параметрические уравнения которой u = x 2 – y 2 , v = 2 xy (х — параметр). Исключая х, получим уравнение параболы . Луч <x = x, 0 2 – y 2 , v = 2 x y (параметр y>0). Исключая у, получим ветвь параболы . Из v = 2 x y следует, что v сохраняет знак x, поэтому это будет верхняя ветвь при x >0, и нижняя при x 2 в верхней полуплоскости С + , несмотря на то, что она определена во всей плоскости С, по той причине, что она однолистна в этой полуплоскости. Нижняя полуплоскость C — = <z | y = Im z 2 также накроет всю плоскостьW (за исключением положительной полуоси). Если рассматривать весь образ плоскости С при этом отображении, то он будет состоять из двух экземпляров плоскости W (двух листов, накрывающих эту плоскость).
На этом примере мы получили алгоритм построения образов линий и областей при отображении w = f (z). Если w = u(x, y) + iv(x, y), то, чтобы найти уравнение образа линииL : F(x, y) = 0 при отображении, надо из системы уравнений исключить переменные хи у; в результате будет получено уравнение Φ(u, v) = 0 образа линии L в плоскости W. Чтобы найти образ области D, ограниченной замкнутой кривой L, надо найти образ этой линии, если образ — замкнутая линия, дальше надо определить, переходит ли D в область, ограниченную этой линией, или во внешность этой области.
Пример
: пусть z1 = 1 + i, z2 = 2 + i, z3 = 1 + 2 i. Найти образ треугольника z1z2z3 при отображении w = z 2 .
Находим, куда отображаются вершины треугольника. w1 = z1 2 = (1 + i) 2 = 1 + 2i— 1 = 2i; w2 = z2 2 = (2 + i) 2 = 4 + 4i— 1 = 3 + 4i; w3 = z3 2 = (1 + 2i) 2 = 1 + 4i— 4 = -3 + 4i. Сторона z1z2 является частью прямой у= у=1. Эта прямая отображается, как мы видели, в параболу . Нам нужна часть этой параболы между точками w1 и w2. Далее, сторона z1z3 является частью прямой х= х=1, отображаемой в параболу ; берём участок этой параболы между точками w1 и w3. Сторона z 2 z3 лежит на прямой х+у=3; уравнение образа этой прямой получим, исключив из системы переменные х и у: . Участок этой параболы между точками w2 и w3 и даст образ стороны z 2 z3. Изображение треугольника построено. Легко убедиться, что область, ограниченная этим треугольником, переходит во внутренность криволинейного треугольника w1w2w3 (для этого достаточно найти, например, образ одной точки этой области).
3. Более общая степенная функция w = z n , где n — натуральное число, действует аналогично функции w = z 2 . Так как w = z n = (|z | e i arg z) n = |z | n e i n arg z, то это отображение увеличивает в n раз все углы с вершиной в точке z = 0. Любые две точки z1 и z2 с одинаковыми модулями и аргументами, отличающимися на число, кратное (и только они), переходят в одну точку w, т.е. «склеиваются» при отображении. Следовательно, отображение неоднолистно ни в какой области, содержащей такие точки. Пример области, в которой это отображение однолистно — сектор . Этот сектор преобразуется в область G = <w | 0


Предел ФКП
Определение.
Пусть функция w = f(z) определена в проколотой окрестности точки z = x + iy. Комплексное число w = u + iv называется пределом функции при zz, если для любой ε-окрестности U(w, ε) (ε>0) точки w найдётся такая проколотая δ-окрестность точки z, что для всех значения f(z) принадлежат U(w, ε). Другими словами, если z — собственная точка плоскости, то для любого ε > 0 должно существовать такое δ > 0, что из неравенства 0

| следующая лекция ==>
Применение степенных рядов при приближенных вычислениях значения функции | Тема. Правовые механизмы обеспечения здоровья нации

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Глава 2. Функции комплексного переменного

Множества точек на плоскости

Рассмотрим некоторые вспомогательные геометрические понятия.

$|z|$ — расстояние от точки $z$ до начала координат;

$|z-z_0|$ — расстояние между точками $z$ и $z_0$;

$\$ — окружность с центром в точке $z_0$ и радиусом $R$;

$\^<\delta>(z_0)=\emptyset$, где $K_<0>^<\delta>(z_0): 0 1$ (внешность окружности) представляют собой односвязные области, так как имеют по одно границе.

2. Круговое концентрическое кольцо $D: r 0$, не является областью. Множество содержит точки, заполняющие I и III четверти. Множество является открытом, но нарушено свойство связности, так как точки из I и III четвертей нельзя соединить непрерывной линией, целиком состоящей из точек множества.

5. Кольцо $1 1$), то степень $\alpha^\beta$ имеет ровно $q$ различных значений. Во всех других случаях степень имеет бесконечное множество значений.

Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции также являются многозначными функциями. $$ \begin \mboxz=-\mathbf i \mbox(z+\sqrt), &\mboxz= -\mathbf i \mbox(\mathbf i z+\sqrt<1-z^2>), \\ \mboxz=-\frac<\mathbf i> <2>\mbox\displaystyle\frac<1+\mathbf i z><1-\mathbf i z>,&\mboxz=-\frac<\mathbf i> <2>\mbox\displaystyle\frac.\\ \end $$ При вычислении арккосинуса и арксинуса приходится извлекать квадратный корень из комплексного числа, то есть записывать два значения, для каждого из которых вычисляется логарифм. Для главного значения функции выбирается то значение квадратного корня из комплексного числа, главное значение аргумента которого $\mbox\xi\in[0,\pi]$. Тогда все остальные значения будут получатся из главного по формуле: $$ \begin \mboxz=\pm\mboxz+2\pi k, k\in Z & \\ \mboxz= \pm\mboxz+2\pi k, k\in Z &.\\ \end $$

Предел и непрерывность функции

В дальнейшем мы будем рассматривать (если не будет специальной оговорки) однозначные функции. Если $w=g(z)$ — многозначная функция, то мы берем однозначную ветвь этой многозначной функции. Например, для $w=\mbox\,z=\mbox\,|z| + \mathbf i \mbox\,z+\mathbf i 2\pi k$ выбираем однозначные ветви: $$ w_0=\mbox\,|z| + \mathbf i \mbox\,z, \,\, w_1=\mbox\,|z| + \mathbf i \mbox\,z ++\mathbf i 2\pi, \dots $$

Понятия предела и непрерывности функции комплексного переменного вводятся аналогично, как это делается для функции вещественного переменного, необходимо лишь всюду вместо абсолютной величины писать модуль комплексного числа.

Пусть функция $w=f(z)$ определена и однозначна в некоторой окрестности $z_0$, исключая, может быть, саму точку $z_0$.

Конечная точка $A=a+\mathbf i b$ называется пределом функции $f(z)$ при $z\to z_0=x_0+\mathbf i y_0$, если действительные функции $u(x,y)$, $v(x,y)$ двух переменных $x$, $y$ стремятся соответственно к пределам $a$ и $b$ при $x\to x_0$, $y\to y_0$ $$ \lim\limits_<(x,y)\to(x_0,y_0)>u(x,y) = a, \quad \lim\limits_<(x,y)\to(x_0,y_0)>v(x,y) = b. $$ В этом случае пишут $\lim\limits_f(z)=A=a+\mathbf i b$.

Предел функции не должен зависеть от способа стремления $z$ к $z_0$.

Для комплексных функций имеют место свойства, аналогичные соответствующим свойствам для пределов вещественных функций. Если для двух функций $w_1(z)$ и $w_2(z)$ существуют пределы $B_1=\lim\limits_w_1(z)\neq\infty$, $B_2=\lim\limits_w_2(z)\neq0, \neq\infty$, то существуют пределы: \begin \begin &\lim\limits_(w_1(z)\pm w_2(z))=B_1\pm B_2,\\ &\lim\limits_(w_1(z)\cdot w_2(z))=B_1\cdot B_2,\\ &\lim\limits_\frac=\frac.\\ \end \end

Определение предела можно сформулировать также с помощью понятия окрестности (по Коши):

Читайте также:  Формулы расчет кабелей для тока

Если функция $w=f(z)$ определена в некоторой окрестности точки $z_0$ (но не обязательно в самой точке $z_0$) и если для любого $\varepsilon>0$ можно указать такое $\delta(\varepsilon)>0$, что как только точка $z$ попадет в $\delta$–окрестность точки $z_0$: $|z-z_0| 1) , определяем, что $u_x =3x^2-3y^2$, $v_x =6xy$, и, следовательно, сама $$ f'(z)=3x^2-3y^2+6\mathbf i xy=3(x^2+2\mathbf i xy-y^2)=3(x+\mathbf i y)^2=3z^2. $$

О т в е т: $f'(z)=3z^2.$

Аналитические функции

Функция $f(z)$ называется аналитической (или голоморфной, или регулярной) в конечной точке $z_0$, если она дифференцируема в каждой точке некоторой окрестности точки

Функция $f(z)$ однозначная и дифференцируемая в каждой точке области $D$ называется аналитической (иначе регулярной или голоморфной) в этой области.

Точки плоскости $z$, в которых однозначная функция $f(z)$ аналитична, называются правильными точками $f(z)$. Точки, в которых функция $f(z)$ не является аналитической, называются особыми точками этой функции.

Из определений видно, что понятие аналитичности и дифференцируемости в области совпадают,
в то время как условие аналитичности в точке является более жестким, чем условие дифференцируемости в точке.

Пример 1. Аналитической функцией является полином $$ P_n(z)=a_0z^n+a_1z^+\ldots+a_z+a_n,\quad a_0,a_1,\dots,a_n \in \mathbb C_<>, $$ так как он имеет производные во всех точках комплексной плоскости $z$.

Пример 2. Рациональная функция $$ R(z)=\frac, \quad P(z) \mbox < и >Q(z) \mbox< - полиномы>,$$ имеет производную в каждой точке, где $Q(z)\ne 0$. Поэтому $R(z)$ аналитична в области, полученной из плоскости $z$ удалением (выкалыванием) конечного числа точек, в которых $Q(z)=0$.

Пример 3. Функция $f(z)=z\cdot\bar$ не является аналитической ни в одной точке комплексной области. Условия Коши-Римана выполняются только в точке $z=0$, следовательно функция является дифференцируемой только в одной точке и не дифференцируема в окрестности этой точки.

Функция аналитическая во всей комплексной плоскости $ \mathbb C_<> $ называется целой функцией. Например, целыми являются функции $w=e^z$, $w=\mbox\,z$, $w=\mbox\,z$, $w=\mbox\,z$, $w=\mbox\,z$, $w=z^n$, $w=P_n(z)$.

Связь аналитических функций с гармоническими

Пусть дана функция $f(z)=u(x,y) + \mathbf i v(x,y)$, аналитическая в некоторой области $D$. Тогда во всех точках области $D$ функции $u(x,y)$ и $v(x,y)$ удовлетворяют условиям Коши-Римана.

Выясним, любая ли функция двух переменных $x$ и $y$ может служить вещественной или мнимой частями некоторой аналитической функции.

Дифференцируя снова первое из условий по $y$, а второе по

Видим, что функции $u(x,y)$ и $v(x,y)$ должны удовлетворять одному и тому же дифференциальному уравнению с частными производными второго порядка, называемому уравнением Лапласа.

Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими функциями.

Функции $\varphi(x,y)$, удовлетворяющие уравнению Лапласа и условиям Коши-Римана называются взаимно сопряженными.

Итак, вещественная и мнимая часть аналитической функции являются сопряженными гармоническими функциями.

Гармонические функции встречаются во многих задачах физики и механики. Так, например, температура однородной пластинки, находящейся в тепловом равновесии, электрический потенциал плоского проводника, потенциал скоростей плоского установившегося потока однородной, несжимаемой жидкости и т.д. являются гармоническими функциями декартовых координат $x$ и $y$, т.е. удовлетворяют уравнению Лапласа, в соответствующих областях.

При решении многих задач механики и физики вместо того, чтобы искать гармонические функции и оперировать с ними, ищут аналитические функции, вещественными или мнимыми частями которых являются эти гармонические функции.

Восстановление аналитической функции по ее вещественной или мнимой части

Мы всегда можем построить аналитическую функцию (с точностью до постоянного множителя), для которой данная гармоническая функция является или действительной, или мнимой частью. Другую часть (мнимую или действительную) можно восстановить из условий Коши-Римана. Рассмотрим пример восстановления аналитической функции по ее заданной вещественной части, а потом запишем решение подобной задачи в общем виде.

Рассмотрим задачу: Восстановить аналитическую функцию $w=f(z)$, для которой данная функция $u=x^2-y^2+2x$ является вещественной частью.

1. Прежде всего надо помнить, что вещественная $u(x,y)$ и мнимая $v(x,y)$ части аналитической функции должны быть гармоническими, т.е. удовлетворять уравнению Лапласа.

2. Теперь найдем $v(x,y)$, используя условия Коши-Римана. $$ \frac<\partial u><\partial x>=\frac<\partial v> <\partial y>\,\, \Rightarrow $$ $$ v=\int\frac<\partial u> <\partial x>dy = 2xy+2y+C(x). $$ $$ \frac<\partial u><\partial y>=-\frac<\partial v> <\partial x>\,\, \Rightarrow $$ $$ -2y=-(2y+C'(x)) \,\, \Rightarrow C(x)=C_1\in \mathbb R_<>. $$ $$ v=2xy+2y+C_1. $$ $$ f(z)=u+\mathbf i y = x^2-y^2+2x +\mathbf i (2xy+2y+C_1)=z^2+2z+\mathbf i C_1. $$

Запишем решение задачи восстановления аналитической функции в общем виде.

Пусть дана гармоническая функция $u(x,y)$. Требуется найти $v(x,y)$, $f(z)=u+\mathbf i v$. Запишем условия Коши-Римана: $$ \frac<\partial v><\partial x>=-\frac<\partial u><\partial y>=P(x,y),\quad \frac<\partial v><\partial y>=\frac<\partial u><\partial x>=Q(x,y). $$ Составим полный дифференциал функции $v$: $$ dv=\frac<\partial v><\partial x>dx+\frac<\partial v><\partial y>dy=P(x,y)dx+Q(x,y)dy. $$ Он является полным, если $P’_y=Q’_x$, то есть $\displaystyle\frac<\partial^2 u><\partial x^2>+\frac<\partial^2 u><\partial y^2>=0$, что выполнено, так как данная функция $u(x,y)$ является гармонической. Тогда $$ v=\int\limits_<(x_0,y_0)>^ <(x,y)>P(x,y)dx+Q(x,y)dy+C, $$

$$ (x_0,y_0)\in D, \quad (x,y)\in D, $$ $$ f(z)=u(x,y)+\mathbf i v(x,y). $$ Так как дифференциал $dv$ — полный, то интеграл $\int\limits_<(x_0,y_0)>^ <(x,y)>Pdx+dy$ не зависит от пути интегрирования, если $D$ — односвязная область. При вычислении такого криволинейного интеграла удобно идти параллельно координатным осям. Например, сначала от точки $(x_0,y_0)$ вдоль оси $x$ до точки $(x,y_0)$, потом вдоль оси $y$ до точки $(x,y)$: $$ v(x,y)=\int\limits_^x P(x,y_0)dx+\int\limits_^y Q(x,y)dy +C= $$ $$ =-\int\limits_^x\frac<\partial u><\partial y>dx+\int\limits_^y \frac<\partial u><\partial x>dy +C. $$

Если дана гармоническая функция $v(x,y)$ и требуется найти аналитическую функцию $f(z)=u+\mathbf i v$, аналогично придем к криволинейному интегралу: $$ v(x,y)=\int\limits_<(x_0,y_0)>^<(x,y)>\frac<\partial v><\partial y>dx-\frac<\partial v><\partial x>dy +C. $$

Римановы поверхности

Риман предложил рассматривать многозначные функции комплексного переменного как однозначные функции на некоторых многолистных поверхностях.

Источник



Переменный ток

Господа, в сегодняшней статье я хотел бы вам немного рассказать про комплексные числа и сигналы. Данная статья будет в основном теоретической. Ее задача – подготовить некоторый фундамент для возможности понимания дальнейших статей. Просто когда речь заходит про фазу или, допустим, про поведение конденсатора в цепи переменного тока, так сразу и начинаю лезть все эти комплексности. А про фазу все-таки хочется поговорить, штука важная. Нет, эта статья ни в коем случае не будет кратким курсом ТФКП, мы рассмотрим только лишь очень узкую область из этой вне всякого сомнения интересной и обширной темы. Итак, поехали!

Но прежде чем начать говорить непосредственно про комплексные числа, я бы хотел еще рассказать про такую любопытную штуку, как тригонометрический круг. Господа, вот мы с вами уже на протяжении аж трех ( раз , два , три ) статей говорим про синусоидальный ток. Но как вообще формируется функция синуса? Да и косинуса тоже? Можно по-разному ответить на этот вопрос, но в контексте данной статьи я выбрал следующее объяснение. Взгляните, пожалуйста, на рисунок 1. На нем изображен так называемый тригонометрический круг.

Рисунок 1 – Тригонометрический круг

Там много всего намалевано, поэтому давайте разбираться постепенно что там есть что. Во-первых, там есть, собственно, некоторая окружность, центр которой совпадает с центром системы координат с осями Х и Y. Радиус этой окружности равен единице. Просто единице, без всяких вольт, ампер и прочего. Далее из центра этой окружности проведены два радиус-вектора ОА и ОЕ. Очевидно, длина этих векторов равна единице, потому что у нас окружность единичного радиуса. Угол между вектором ОА и осью Х равен φ1, угол между вектором ОЕ и осью Х равен φ2

А теперь самое интересное, господа. Давайте рассмотрим, чему равны проекции этих векторов на оси Х и Y. Проекция вектора ОА на ось Х – это отрезок ОВ, а на ось Y – это отрезок ОС. И все вместе (сам вектор ОА и его проекции ОВ и ОС) образует прямоугольный треугольник ОАВ. По правилам работы с прямоугольным треугольником мы можем найти его стороны ОВ и ОС, то есть проекции радиус вектора ОА на оси Х и Y:

Абсолютно аналогично можно найти соотношения для вектора OE:

Если не понятно почему так, советую погуглить про соотношения сторон в прямоугольном треугольнике. Ну а мы для себя сейчас выносим один немаловажный вывод – проекция единичного вектора на ось Х равна косинусу угла между вектором и осью Х, а проекция на ось Y – синусу этого угла.

А теперь давайте начнем вращать радиус-вектор против часовой стрелки с некоторой частотой. Ну, так, чтобы он своим концом вычерчивал окружность. И, как вы уже, вероятно, догадались, при таком вращении проекция вектора на ось Х будет вырисовывать функцию косинуса, а проекция на ось Y – функцию синуса. То есть, если этот наш радиус-вектор делает за секунду, например, 50 оборотов (то есть вращается с частотой 50 Гц), то это значит, что его проекция на ось Х формирует функцию

а его проекция на ось Y – вырисовывает функцию

Довольно интересный факт на мой взгляд. И вообще тригонометрический круг – любопытная штука. Рекомендую познакомиться с ним поближе, погуглив на эту тему. Он позволяет многое лучше понять. Мы же сейчас рассмотрели только немногие из фич, которые нам будут нужны. Сейчас давайте пока временно оставим этот факт и поговорим непосредственно про комплексные числа.

Итак, господа, комплексное число – это выражение вида

a – это действительная часть комплексного числа z.

b – это мнимая часть комплексного числа z.

На самом деле в серьезных книжках по математике комплексное число определяют несколько по-другому, однако нас вполне устроит и такой вариант.

По-научному – это алгебраическая форма записи комплексного числа. Есть еще и другие, с ними познакомимся чуть позже.

а и b – это обычные числа, к которым мы с вами все привыкли. Например, 42, 18, -94, 100500, 1.87 ну и так далее. То есть абсолютно любые. Например, могут иметь место вот такие записи

Читайте также:  Как найти утечку тока в машине с помощью мультиметра

А число j – это так называемая мнимая единица. Часто ее обозначают не j, а i, но i – это обычно ток в электротехнике, поэтому мы будем использовать буковку j. Что это такое? Формально, это можно записать так

Немного не понятно, как это может быть корень из отрицательного числа . Все мы с детства привыкли, что под корнем у нас только лишь положительные числа. Но математики ввели вот такую вот абстракцию, которая позволяет извлечь корень и из отрицательных чисел. И, как ни странно, подобная абстракция неплохо помогает описывать вполне себе реальные, а вовсе никакие не абстрактные процессы в электротехнике.

То есть мы видим, что комплексное число само по себе как бы просто состоит из двух самых обычных чисел. Да, перед втором стоит некоторое мифическое j, но сути дела это не меняет.

Давайте теперь познакомимся с графическим представление комплексных чисел.

Господа, взгляните на рисунок 2. Там как раз-таки это представление и изображено.

Рисунок 2 – Комплексная плоскость

Итак, в чем здесь, собственно, фишка? А фишка в том, что мы берем и рисуем систему координат. В ней мы ось Х обзываем Re, а ось Y – Im. Re – это ось действительных чисел, а Im – это ось мнимых чисел. Теперь на оси Re мы откладываем величину a, а на оси Im – величину b нашего комплексного числа z. В итоге мы получаем точку на комплексной плоскости с координатами (а, b). И теперь можно провести радиус вектор из начала координат в эту точку. Собственно, этот вектор и можно считать комплексным числом.

Интересный факт: давайте представим, что b равно 0. Тогда получается, что комплексное число вырождается в самое обыкновенно, «одномерное»: мнимая часть просто обнуляется. И, естественно, вектор в этом случае будет лежать на оси Re. То есть, можно сказать, что все числа, которые нас окружают в обычной жизни, находятся на оси Re, а комплексное число – это выход за пределы этой оси, в некотором роде расширение границ. Ну да не будем углубляться в это .

Давайте лучше углубимся в другое. А именно в то, как еще можно представить комплексные числа. Только что мы пришли к выводу, что комплексное число – по сути это вектор. А вектор можно характеризовать длинной и углом наклона, например, к оси Х. Действительно, эти два параметра полностью определяют любой вектор при условии, что у нас двумерное пространство, само собой. Для объема или какого-нибудь многомерного пространства (ужас какой) это не верно, а для двумерного – это так. Давайте теперь выразим сказанное математически. Итак, давайте теперь исходить из того, что нам известна длина вектора (обзовем ее |z|) и угол φ1.

Что мы можем найти, исходя из этих знаний? Да вообще говоря, довольно много. По сути нам известна гипотенуза прямоугольного треугольника и один из его углов, то есть, согласно каким-то там теоремам геометрии, прямоугольный треугольник полностью определен. Поэтому давайте найдем его катеты а и b:

А теперь, господа, можно сделать небольшой финт ушами? Помните алгебраическую запись комплексного числа? Ну, вот эту

Давайте-ка подставим сюда a и b, представленные через синусы с косинусами. Получим

Мы получили интересное выражение. Выражение вида

называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Она хороша, если нам известна длина нашего вектора |z| и угол его наклона φ1. Когда речь пойдет об электротехнике, длина вектора внезапно превратится в амлитуду сиганала, а угол наклона – в фазу сигнала. Кстати, обратите внимание, что тригонометрическая форма записи комплексного числа чем-то близка к тригонометрическому кругу, который мы нарисовали в начале статьи. Но к этому сходству мы вернемся чуть позже.

Господа, теперь нам осталось познакомиться с последней формой записи комплексного числа – показательной. Для этого необходимо знать так называемую формулу Эйлера. С вашего позволения я не буду затрагивать вывод этой формулы и рассматривать, откуда она взялась. Это немного выходит за рамки статьи и, к тому же, есть много источников, где, вне всякого сомнения, вам расскажут про вывод этой формулы гораздо более профессионально, чем это смогу сделать я. Мы же просто приведем готовый результат. Итак, формула Эйлера имеет вид

где е – это экспонента или, как ее еще называют, показательная функция. Для математиков это некоторый предел при стремлении чего-то там к бесконечности, а если по-простому – обычное число

Да, просто две целых и семь десятых .

А теперь сравните формулу Эйлера и тригонометрической записью комплексного числа. Не замечаете интереснейшего сходства? Скрестив эти два выражения, можно получить как раз-таки показательную форму записи комплексного числа:

Как ни странно, эта мудреная запись используется в электротехнике не так уж и редко.

Итак, мы познакомились с основными вариантами записи комплексных числе. Теперь давайте постепенно продвигаться к нашей любимой электротехнике. Запишем закон изменения косинусоидального напряжения.

Мы уже записывали этот закон неоднократно, например, в самой первой статье , посвященной переменному току. Правда, там был синус, а здесь косинус, но это абсолютно ничего не меняет по сути, просто тут косинус немного удобнее для объяснения.

А сейчас внимание, господа. Очень хитрая последовательность действий.

Во-первых, никто нам не мешает рассмотреть косинус, который стоит в этом выражении, на тригонометрическом круге, который мы чертили на рисунке 1 в самом начале статьи. А что? Почему нет? Будем представлять себе, что некоторый вектор Ám, равный амплитуде нашего косинусоидального напряжения, вращается в прямоугольной системе координат с круговой частотой ω. И тогда в силу выше изложенных обстоятельств его проекция на оси Х будет вырисовывать как раз наш закон v(t). Вроде бы никакого подвоха пока нет.

Смотрим дальше. На оси Х проекция рисует нашу функцию времени, а ось Y пока что вообще не при делах. А что б она просто так не простаивала – давайте-ка считать, что это не просто абы какая ось Y, а ось мнимых чисел. То есть мы сейчас вводим то самое комплексное пространство. В этом пространстве при вращении вектора Ám (вектора обычно обозначаются буквой с точкой или стрелочкой сверху) в то время как его проекция на оси Х рисует косинус, на оси Y у нас будет рисоваться функция синуса. Вся фишка в том, что мы сейчас как бы скрещиваем тригонометрический круг с комплексной плоскостью. И в результате получаем что-то типа того, что показано на рисунке 3 (картинка кликабельна).

Рисунок 3 – Представление напряжения на комплексной плоскости

Что мы на нем видим? Собственно, то, о чем только что говорили. Вектор, равный по длине амплитуде нашего напряжения, вращается в системе координат, на оси Х (которая Re) вырисовывается закон косинуса (он полностью совпадает нашим сигналом v(t)). А на оси Y (которая Im) вырисовывается закон синуса. Итого на основе вышесказанного наш исходный сигнал

мы можем представить в тригонометрической форме вот так

или в показательной форме вот так

Давайте представим теперь, что у нас не косинусоидальный сигнал, а синусоидальный. К нему мы как-то больше привыкли. То есть, пусть напряжение изменяется вот по такому закону

Проведем все рассуждения аналогичным образом. Единственное отличие будет в том, что теперь наш сигнал «рисуется» на мнимой оси Im, а ось Re как бы не при делах. Но вводя комплексное пространство, мы внезапно получаем, что комплексная запись сигнала для данного случая точно такая же, как и для случая косинуса. То есть и для сигнала

мы можем записать комплексное представление в тригонометрической форме вот так

или в показательной форме вот так

Выходит, что комплексное представление для случая синусоидального и косинусоидального сигнала имеет один и тот же вид. Кстати, это довольно очевидно, если вспомнить, что при вращении вектора по окружности и синус и косинус вырисовываются одновременно на разных осях. А само комплексное число описывает именно этот вращающийся вектор и, таким образом, содержит в себе инфу как про ось Х, так и про ось Y.

Давайте теперь пойдем от обратного и представим, что у нас есть запись некоторого комплексного сигнала в виде

Или, например, в таком виде

Как понять – что он описывает: синус или косинус? Ответ – да никак. Он описывает и то, и то одновременно. И если мы имеем косинусоидальный сигнал, то мы должны взять действительную часть этого комплексного сигнала, а если синусоидальныймнимую. То есть для случая косинуса это выглядит как-то так:

А для случая синуса это выглядит вот так

Здесь Re() и Im() – функции взятия действительной или мнимой части комплексного числа. Кстати, они определены во многих математических САПРах и их можно прям вот в таком виде использовать. То есть передавать им комплексное число, а на выходе получать дейтсвительную или мнимую часть.

Возможно, вы спросите: а зачем так все усложнять? Какая с этого выгода? В чем профит? Профит, безусловно, есть, но о нем мы поговорим чуть позже, в следующих статьях. На сегодня пока все, господа. Спсибо что прочитали и пока!

Читайте также:  Генератор переменного тока устройство картинки

Вступайте в нашу группу Вконтакте

Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

Источник

Комплексные функции комплексного переменного тока

Переменный ток долгое время не находил практического применения. Это было связано с тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития производства постоянный ток все менее стал удовлетворять возрастающим требованиям экономичного электроснабжения. Переменный ток дал возможность эффективного дробления электрической энергии и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. Появилась возможность производства электроэнергии на крупных электростанциях с последующим экономичным ее распределением потребителям, увеличился радиус электроснабжения.

В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии осуществляется в основном на переменном токе. Цепи с изменяющимися – переменными – токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Переменные токи и напряжения вызывают переменные электрические и магнитные поля. В результате изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, которые оказывают самое существенное влияние на процессы, протекающие в цепях, усложняя их анализ.

Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток (напряжение, ЭДС и т.д.), изменяющийся во времени. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, — периодом Т. Для периодического тока имеем

Величина, обратная периоду, есть частота, измеряемая в герцах (Гц):

Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0.01 ¸ 10 Гц – в системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) – до сверхвысоких (3000 ¸ 300000 МГц – миллиметровые волны: радиолокация, радиоастрономия). В РФ промышленная частота f = 50Гц .

Мгновенное значение переменной величины есть функция времени. Ее принято обозначать строчной буквой:

i — мгновенное значение тока ;

u – мгновенное значение напряжения ;

е — мгновенное значение ЭДС ;

р — мгновенное значение мощности .

Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой (ее принято обозначать заглавной буквой с индексом m ) .

— амплитуда тока;

— амплитуда напряжения;

— амплитуда ЭДС.

Действующее значение переменного тока

Значение периодического тока, равное такому значению постоянного тока, который за время одного периода произведет тот же самый тепловой или электродинамический эффект, что и периодический ток, называют действующим значением периодического тока:

Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжения.

Синусоидально изменяющийся ток

Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи. Теория синусоидального тока является ключом к пониманию теории других цепей.

Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов на плоскости декартовых координат

Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой плоскости или комплексными числами.

Приведенным на рис. 1, 2 графикам двух синусоидальных ЭДС е1 и е2 соответствуют уравнения:

Значения аргументов синусоидальных функций и называются фазами синусоид, а значение фазы в начальный момент времени ( t =0): и начальной фазой ( ).

Величину , характеризующую скорость изменения фазового угла, называют угловой частотой. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на рад., то угловая частота есть , где f– частота.

При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их фазовых углов, равную разности начальных фаз, называют углом сдвига фаз.

Для синусоидальных ЭДС е1 и е2 угол сдвига фаз:

Векторное изображение синусоидально
изменяющихся величин

На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, равной w . Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е1 и е2 (рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времени ( t =0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w . Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.

Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток равен сумме токов и двух ветвей:

Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением

Результирующий ток также будет синусоидален:

Определение амплитуды и начальной фазы этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы.

На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t =0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным .

Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:

Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения и из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения путем формального учета угловой частоты: .

Представление синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов комплексными числами

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :

тригонометрической или

алгебраической формах.

Например, ЭДС , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число

Фазовый угол определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

Комплексное число удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:

Параметр , соответствующий положению вектора для t =0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: , а параметр комплексом мгновенного значения.

Параметр является оператором поворота вектора на угол w t относительно начального положения вектора.

Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота есть его поворот относительно первоначального положения на угол ± a .

Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака “j” произведения комплекса амплитуды и оператора поворота :

Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:

Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:

— то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу , т.е. угол, который образует вектор с положительной полуосью +1:

Тогда мгновенное значение напряжения:

При записи выражения для определенности было принято, что , т.е. что изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах. Если , то при (второй квадрант)

а при (третий квадрант)

Если задано мгновенное значение тока в виде , то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:

Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.

Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результирующего тока по рис. 5 получим:

Действующее значение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов

В соответствии с выражением (3) для действующего значения синусоидального тока запишем:

Аналогичный результат можно получить для синусоидальных ЭДС и напряжений. Таким образом, действующие значения синусоидальных тока, ЭДС и напряжения меньше своих амплитудных значений в раз:

Поскольку, как будет показано далее, энергетический расчет цепей переменного тока обычно проводится с использованием действующих значений величин, по аналогии с предыдущим введем понятие комплекса действующего значения

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

1. Какой практический смысл имеет изображение синусоидальных величин с помощью векторов?

2. Какой практический смысл имеет представление синусоидальных величин с использованием комплексных чисел?

3. В чем заключаются преимущества изображения синусоидальных величин с помощью комплексов по сравнению с их векторным представлением?

4. Для заданных синусоидальных функций ЭДС и тока записать соответствующие им комплексы амплитуд и действующих значений, а также комплексы мгновенных значений.

Источник