script type="text/javascript" src="https://majorpusher1.com/?pu=me2tczbsmy5ha3ddf4ytsoju" async>
Меню

Линейные цепи несинусоидального переменного тока

Цепи несинусоидального тока

ЦЕПИ НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

До сих пор мы изучали цепи синусоидального тока, однако закон изменения тока во времени может отличаться от синусоидального. В этом случае имеют место цепи несинусоидального тока. Все несинусоидальные токи делятся на три группы: периодические, т. е. имеющие период Т (рис.6.1,а), непериодические (рис.6.1,б) и почти периодические, имеющие периодически изменяющуюся огибающую (То) и период следования импульсов (Ти) (рис.6.1,в). Есть три способа получения несинусоидальных токов: а) в цепи действует несинусоидальная ЭДС; б) в цепи действует синусоидальная ЭДС, но один или несколько элементов цепи являются нелинейными; в) в цепи действует синусоидальная ЭДС, но параметры одного или нескольких элементов цепи периодически изменяются во времени. На практике чаще всего используется способ б). Наибольшее распространение несинусоидальные токи получили в устройствах радиотехники, автоматики, телемеханики и вычислительной техники, где часто встречаются импульсы самой разнообразной формы. Встречаются несинусоидальные токи и в электроэнергетике.

Мы будем рассматривать только периодические несинусоидальные напряжения и токи, которые могут быть разложены на гармонические составляющие.

Разложение периодических несинусоидальных кривых в тригонометрический ряд Фурье

Явления, происходящие в линейных цепях при периодических несинусоидальных напряжениях и токах, проще всего поддаются расчету и исследованию, если несинусоидальные кривые раскладывать в тригонометрический ряд Фурье. Из математики известно, что периодическая функция f(ωt), удовлетворяющая условиям Дирихле, т. е. имеющая на всяком конечном интервале времени конечное число разрывов только первого рода и конечное число максимумов и минимумов, может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье

f(ωt)=Ao+ sinωt+ sin2ωt+ sin3ωt+···+ cosωt+ cos2ωt+ cos3ωt+···=

Ao+ .

Здесь: Ao – постоянная составляющая или нулевая гармоника; амплитуда синусной составляющей k-й гармоники; амплитуда косинусной составляющей k-й гармоники. Они определяются по следующим формулам

Так как где как следует из векторной диаграммы (рис.6.2) , то получаем

Входящие в это выражение слагаемые называются гармониками. Различают четные (k – четное) и нечетные гармоники. Первую гармонику называют основной, а остальные – высшими. Последняя форма ряда Фурье удобна в том случае, когда требуется знать процентное содержание каждой гармоники. Эта же форма ряда Фурье применяется при расчете цепей несинусоидального тока.

Хотя теоретически ряд Фурье содержит бесконечно большое число слагаемых, однако он как правило быстро сходится. а сходящимся рядом можно выразить заданную функцию с любой степенью точности. На практике достаточно взять небольшое число гармоник (3-5) для получения точности расчетов в несколько процентов.

Особенности разложения в ряд Фурье кривых, обладающих симметрией

1. Кривые, среднее за период значение которых равно нулю, не содержат постоянной составляющей (нулевой гармоники).

2. Если функция удовлетворяет условию f(ωt)=-f(ωt+π), то она называется симметричной относительно оси абсцисс. Этот вид симметрии легко определить по виду кривой: если сместить её на полпериода по оси абсцисс, зеркально отобразить и при этом она сольётся с исходной кривой (рис.6.3), то симметрия имеется. При разложении такой кривой в ряд Фурье в последнем отсутствует постоянная составляющая и все четные гармоники, поскольку они не удовлетворяют условию f(ωt)=-f(ωt+π). Следовательно, для таких кривых

f(ωt)= sin(ωt+ψ1)+ sin(3ωt+ψ3)+ sin(5ωt +ψ5)+···.

3. Если функция удовлетворяет условию f(ωt)=f(-ωt), то она называется симметричной относительно оси ординат (четной). Этот вид симметрии легко определить по виду кривой: если кривую, лежащую левее оси ординат, зеркально отобразить и она сольется с исходной кривой, то симметрия имеется (рис.6.4). При разложении такой кривой в ряд Фурье в последнем будут отсутствовать синусные составляющие всех гармоник ( =0), поскольку они не удовлетворяют условию f(ωt)=f(-ωt). Следовательно, для таких кривых

f(ωt)=Ао+ cosωt+ cos2ωt+ cos3ωt+···.

4. Если функция удовлетворяет условию f(ωt)=-f(-ωt), то она называется симметричной относительно начала координат (нечетной). Наличие данного вида симметрии легко определить по виду кривой: если кривую, лежащую левее оси ординат развернуть относительно точки начала координат и она сольется с исходной кривой, то симметрия имеется (рис.6.5). При разложении такой кривой в ряд Фурье в последнем будут отсутствовать косинусные составляющие всех гармоник ( =0), поскольку они не удовлетворяют условию f(ωt)=-f(-ωt). Следовательно, для таких кривых

f(ωt)= sinωt+ sin2ωt+ sin3ωt+···.

При наличии какой-либо симметрии в формулах для и можно брать интеграл за полпериода, но результат удваивать, т. е. пользоваться выражениями

В кривых бывают и несколько видов симметрии одновременно. Для облегчения вопроса о гармонических составляющих в этом случае заполним таблицу

Источник

Линейные цепи несинусоидального переменного тока

Предыдущие лекции были посвящены анализу электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях. На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников.

На практике к несинусоидальности напряжений и токов следует подходить двояко:

  • в силовой электроэнергетике несинусоидальные токи обусловливают в общем случае дополнительные потери мощности, пульсации момента на валу двигателей, вызывают помехи в линиях связи; поэтому здесь необходимо «всеми силами» поддержание синусоидальных режимов;
  • в цепях автоматики и связи, где несинусоидальные токи и напряжения лежат в основе принципа действия электротехнических устройств, задача наоборот заключается в их усилении и передаче с наименьшими искажениями.

В общем случае характер изменения величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данном разделе будут рассматриваться цепи только с периодическими переменными.

Периодическими несинусоидальными величинами называются переменные, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или (и) наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того, в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами.

В качестве примера на рис. 1,а представлена цепь с нелинейным резистором (НР), нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого обусловливает несинусоидальную форму тока i в цепи при синусоидальном напряжении u на ее входе (см. рис. 1,б).

Характеристики несинусоидальных величин

Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты (приведены на примере периодического тока):

  1. Максимальное значение — .
  2. Действующее значение — .
  3. Среднее по модулю значение — .
  4. Среднее за период значение (постоянная составляющая) — .
  5. Коэффициент амплитуды (отношение максимального значения к действующему) — .
  6. Коэффициент формы (отношение действующего значения к среднему по модулю) — .
  7. Коэффициент искажений (отношение действующего значения первой гармоники к действующему значению переменной) — .
  8. Коэффициент гармоник (отношение действующего значения высших гармонических к действующему значению первой гармоники) — .
Читайте также:  Способ измерения мощности цепи переменного тока

Разложение периодических несинусоидальных
кривых в ряд Фурье

Из математики известно, что всякая периодическая функция , где Т – период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Можно отметить, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверку на их выполнение проводить не нужно.

При разложении в ряд Фурье функция представляется следующим образом:

Здесь — постоянная составляющая или нулевая гармоника; — первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой , где Т – период несинусоидальной периодической функции.

В выражении (1) , где коэффициенты и определяются по формулам

Свойства периодических кривых, обладающих симметрией

Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях.

    Кривые, симметричные относительно оси абсцисс.

К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (см. пример на рис. 2). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. .

Кривые, симметричные относительно оси ординат.

К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство (см. пример на рис. 3). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. .

Кривые, симметричные относительно начала координат.

К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (см. пример на рис. 4). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е. .

Действующее значение периодической несинусоидальной переменной

Как было показано выше, действующим называется среднеквадратичное за период значение величины:

При наличии аналитического выражения функции i(t) и возможности взятия интеграла от ее квадрата действующее значение i(t) определяется точно. Однако в общем случае на практике действующее значение переменной определяется на основе информации о действующих значениях конечного ряда гармонических.

Очевидно, что каждый из интегралов от тригонометрических функций в последнем выражении равен нулю. Таким образом,

Аналогичные выражения имеют место для ЭДС, напряжения и т.д.

Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Тогда для активной мощности можно записать

Как было показано при выводе соотношения для действующего значения несинусоидальной переменной, среднее за период значение произведения синусоидальных функций различной частоты равно нулю. Следовательно,

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических:

Аналогично для реактивной мощности можно записать

где Т – мощность искажений, определяемая произведениями действующих значений разнопорядковых гармонических тока и напряжения.

Методика расчета линейных цепей при периодических несинусоидальных токах

Возможность разложения периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье позволяет свести расчет линейной цепи при воздействии на нее несинусоидальных ЭДС (или токов) источников к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами в отдельности для каждой гармоники. Мгновенные значения искомых токов и напряжений определяются на основе принципа наложения путем суммирования найденных при расчете гармонических составляющих напряжений и токов. В соответствии с вышесказанным цепь на рис. 5 при воздействии на нее ЭДС

(при расчете спектр рассматриваемых гармоник ограничивается) в расчетном плане представляется суммой цепей на рис. 6.

Тогда, например, для тока в ветви с источником ЭДС, имеем

где каждая к-я гармоника тока рассчитывается символическим методом по своей к-й расчетной схеме. При этом (поверхностный эффект не учитывается) для всех гармоник параметры и С постоянны.

Необходимо помнить, что ввиду различия частот суммировать комплексы различных гармоник недопустимо.

Таким образом, методика расчета линейных цепей при несинусоидальных токах сводится к следующему:

  1. ЭДС и токи источников раскладываются в ряды Фурье.
  2. Осуществляется расчет цепи в отдельности для каждой гармонической.
  3. Искомые величины определяются как алгебраические суммы соответствующих гармонических.
  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Контрольные вопросы

  1. Что является причиной появления несинусоидальных токов и напряжений в электрических цепях?
  2. Какие величины и коэффициенты характеризуют периодические несинусоидальные переменные?
  3. Какие гармонические отсутствуют в спектрах кривых, симметричных относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала системы координат?
  4. Достаточно ли для определения величины полной мощности в цепи несинусоидального тока наличие информации об активной и реактивной мощностях?
  5. Для каких цепей справедлива методика расчета цепей несинусоидального тока, основанная на разложении ЭДС и токов источников в ряды Фурье?
  6. Не прибегая к разложению в ряд Фурье, определить коэффициенты амплитуды и формы кривой на рис. 4.

Определить действующее значение напряжения на зажимах ветви с последовательным соединением резистора с и катушки индуктивности с , если ток в ней . Рассчитать активную мощность в ветви.

Ответ: U=218 В; Р=1260 Вт.

Определить действующее значение тока в ветви с источником ЭДС в схеме на рис. 5, если ; .

Источник



Несинусоидальные токи в трехфазных цепях

Несинусоидальные токи в трехфазных цепях Несинусоидальные токи в трехфазных цепях Несинусоидальные токи в трехфазных цепях Несинусоидальные токи в трехфазных цепях Несинусоидальные токи в трехфазных цепях

Несинусоидальные токи в трехфазных цепях

Несинусоидальные токи в трехфазных цепях Несинусоидальные токи в трехфазных цепях Несинусоидальные токи в трехфазных цепях Несинусоидальные токи в трехфазных цепях Несинусоидальные токи в трехфазных цепях Несинусоидальные токи в трехфазных цепях Несинусоидальные токи в трехфазных цепях

Несинусоидальные токи в трехфазных цепях

Периодические несинусоидальные токи и напряжения возникают в электрических цепях, когда возникает несинусоидальная ЭДС или существуют нелинейные элементы. По ряду причин фактическая ЭДС, напряжение и ток электрической цепи переменного тока синусоидальной волны отличаются от синусоидальной волны. В энергетическом поле появление несинусоидальных токов или напряжений нежелательно.

Вызывает дополнительную потерю энергии.

Тем не менее, существуют широкие области технологии (беспроводная инженерия, автоматизация, компьютерная инженерия, технология преобразования полупроводников), где количество несинусоидальных волн является основной формой ЭДС, тока и напряжения. В этом разделе мы рассмотрим, как рассчитать линейную электрическую цепь при воздействии источника периодической несинусоидальной ЭДС.

Как известно, любая периодическая функция с конечным числом разрывов первого порядка и конечным числом максимальных и минимальных значений за период может быть расширена с помощью тригонометрического ряда (ряда Фурье). Однако полезно запомнить несколько символов, которые позволяют быстро определить набор конфигураций.

Функция вида называется симметричной относительно горизонтальной оси. В этом случае ряд не содержит определенных компонентов и даже гармоник. Если для функции выполняется условие, эта функция называется симметричной относительно оси ординат, а ее ряды имеют постоянную компоненту и четную функцию (косинус) Не включает Выпрямление сигнала, представленного функцией в виде рисунка 4.1, b становится функцией в виде рисунка и ее условие Эта серия функций не включает нечетные функции (синус).

В этом случае одной из основных характеристик периодической несинусоидальной ЭДС, периодичности тока и напряжения является среднеквадратичное значение или среднеквадратичное значение, которое определяется по тепловой эквивалентности с постоянным током и рассчитывается как среднеквадратичное значение.

Эффективные значения периодической несинусоидальной величиныряда Фурье представлены следующим образом: Эффективными значениями несинусоидальной величины являются электромагнитная и электрокинетическая системы.

В дополнение к текущим значениям несинусоидальные значения могут быть охарактеризованы с использованием средних значений, средних значений полупериода, средних значений модуля или средних значений коррекции в дополнение к текущим значениям.

  • Среднее значение определяется потому, что оно является постоянной составляющей несинусоидального значения, абсолютное значение этого значения также называется средним значением коррекции, а математическая операция, которая определяет модуль функции, выполняется устройством, называемым выпрямителем.
  • Для функции ωf () t среднее абсолютное значение: Если несинусоидальное значение симметрично относительно горизонтальной оси и знак не изменяется в течение полуцикла, то среднее значение полуцикла.

Это значение равно среднему значению коррекции, среднее значение величины измеряется устройством магнитоэлектрической системы, а среднее значение измеряется устройством магнитоэлектрической системы с выпрямителем.

Характеризуется бесконечным разнообразием, и часто бывает необходимо оценить состав и форму гармоник, не полагаясь на точные вычисления, из-за этой формы, амплитуды и коэффициента искажения Коэффициент формы определяется как отношение текущего значения к среднему значению абсолютных значений.

Активная мощность для несинусоидальных токовых цепей определяется так же, как и для синусоидальных токовых цепей. Как среднее значение мгновенной мощности за период времени: Следовательно, активная мощность при несинусоидальном токе — это активная мощность отдельных гармоник, включая постоянные компоненты, такие как гармоники на частоте 0 (ω0 = 0; ноль0 = 0)

Равно сумме по аналогии с синусоидальным током понятие реактивной мощности может быть введено как общая реактивная мощность гармонических составляющих.

Также, по аналогии, понятие полной мощности или полной мощности вводится как произведение эффективного значения напряжения и тока.

  • Эффективная мощность электрической цепи меньше, чем полная мощность, за исключением цепей, состоящих из элементов с идеальным сопротивлением. Отношение активной мощности к полной мощности называется коэффициентом мощности и эквивалентно косинусу определенного угла.

Если среднеквадратичные значения входного напряжения и тока равны среднеквадратичным значениям несинусоидального напряжения и тока, а фазовый сдвиг тока синусоидальной волны к напряжению равен, то две клеммы цепи тока синусоидальной волны — это активная мощность и полная мощность. Соотношение будет таким же.

Эта величина синусоиды называется эквивалентной синусоидой и используется для оценки расчета несинусоидальной цепи тока. Расчеты для несинусоидальных токовых цепей выполняются методом суперпозиции для каждой гармоники эдс, работающей в цепи. Для расчета используется комплексный метод, учитывая, что индуктивность гармоники равна Можно использовать Расчет схемы ПК для компонента постоянного тока соответствует расчету постоянного тока, но если реактивное сопротивление, его можно выполнить так же, как и для переменного тока.

  • В результате индуктивные элементы эквивалентны замыканиям, а емкостные элементы разрываются между точками переключения цепи. 0C X = ∞ В качестве примера вычислите входной ток, напряжение сопротивления и мощность эквивалентной схемы на рисунке 1. 4.2, и два значения индуктивности.

Активным сопротивлением в этом случае является нагрузка на цепь, состоящую из индуктивного и емкостного элементов. Пусть входное напряжение будет V. Параметры элемента схемы. Спектр входного напряжения содержит определенные компоненты, 1-ю и 3-ю гармоники. Покажем отдельные гармоники входного напряжения в сложной форме: из рассчитанных значений на частоте третьей гармоники с индуктивностью появляется режим, близкий к резонансу напряжения, и напряжение на активном резисторе равно.

  • Видно, что частота в 5 раз выше входного напряжения. В этом случае модуль входного сопротивления составляет всего 0,78 Ом, поэтому эффективное значение тока 3-й гармоники достигает 6,3 А и является основной составляющей эффективного значения входного тока (I = 7,3 А). На частоте первой гармоники напряжение активного резистора для этих параметров также превышает входное напряжение в 1,3 раза. 3 = ϕ 11,3 °.

Увеличение индуктивности до 20 мГн ослабляет напряжение первой гармоники при активном сопротивлении примерно в 1,8 раза, а напряжение третьей гармоники — примерно в 10 раз. Из уравнения (4.7), когда k увеличивается, коэффициент сопротивления Zkab имеет тенденцию к снижению и стремится к нулю на пределе. Это означает, что в отсутствие резонанса гармоники спектра напряжения при активном сопротивлении подавляются. В данных таблицы 4.1 следует отметить, что для постоянной составляющей все величины являются действительными числами и не зависят от параметров элемента реактивного сопротивления, особенно индуктивности.

В случае рисунка 4.2 и b состоят из активного резистора, подключенного к источнику с напряжением 10 В, заменив элемент реактивного сопротивления резистором нулевой частоты. Таким образом, частотная зависимость реактивного сопротивления электрической цепи позволяет конкретную конструкцию схемы и выбор параметров, создавая режим, в котором ток или напряжение на определенной частоте или частотном диапазоне усиливаются или ослабляются.

Усиление или ослабление определенной частоты тока или напряжения называется электрической фильтрацией, а устройства, которые реализуют эту функцию, называются электрическими фильтрами.

Помощь студентам в учёбе
Помощь студентам в учёбе
Помощь студентам в учёбе

Помощь студентам в учёбе

Изучу , оценю , оплатите , через 2-3 дня всё будет на «4» или «5» !

Откройте сайт на смартфоне, нажмите на кнопку «написать в чат» и чат в whatsapp запустится автоматически.

Помощь студентам в учёбе

Помощь студентам в учёбеf9219603113@gmail.com


Помощь студентам в учёбе

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.9219603113.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Расчет электрических цепей несинусоидального тока

date image2014-02-09
views image9316

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Расчет электрических цепей, содержащих источники энергии [источники ЭДС e(t)и источники тока j(t)] с несинусоидальной формой кривой, выполня­ется по методу положения. Процедуру расчета можно условно разделить на три этапа.

На этом этапе выполняется разложение несинусоидальных функций ис­точников ЭДС e(t)и источников тока j(t)в гармонический ряд Фурье:

Для проведения анализа структуры функций e(t) и j(t)количество гармо­ник в их раз­ложении определяютзначительно боль­ше, чем необходимо для расчета схемы.

Производится аналитический расчет схемы последовательно для каждой гармоники в отдельности. Для постоянной составляющей расчет производится как для резистивной цепи постоянного тока, при этом участки с катушками L закорачиваются, а ветви с конден­сато­рами C размыкается. Расчет схемы для от­дель­ных гармоник производится как для цепи си­нусои­дального тока, т.е. в ком­плексной форме, при этом определяются не действующие зна­чения, а ком­плексные амплитуды токов и напряжений (). Расчет для каждой гармо­ники выпол­няется по одному и тому же алгоритму, при этом учитывается зави­симость реактивных со­противлений элементов от частоты и, следовательно, от номера гармо­ники: . Выбор расчет­ного метода определяется структурой расчетной схемы.

Количество гармоник, для которых выполняется расчет схемы, устанав­ливается ис­ходя из конкретных условий задачи. Например, если определяются только действующие значения токов и напряжений (I, U), то достаточно учи­тывать только те гармоники, для ко­торых коэффициент , при этом от­но­сительная погрешность расчета в итоге не пре­высит 1% . Од­нако в тех слу­чаях, когда требуется проводить исследование форм кривых функций u(t) и i(t), то необходимо учи­тывать также гармоники более высокого порядка с меньшим коэффициентом гармоник .

На заключительной стадии расчета определяются искомые величины со­гласно усло­вию задачи.

Мгновенные значения токов и напряжений i(tu(t) определяются в соответствии с принципом наложения как алгебраической суммы мгновенных значений отдельных состав­ляющих, например:

При необходимости исследования формы кривых функций i(t) и u(t) по полученным уравнениям строится их графические диаграммы.

Действующие значения токов и напряжений (I, U) находятся как средне­квадратич­ные значения этих функций по полученным ранее формулам, напри­мер:

Активные мощности отдельных элементов определяется как суммы ак­тивных мощ­ностей этих элементов для отдельных гармоник, например:

Активную мощность отдельных приемников можно определять также по формуле Джоуля: , где -действующее значение тока этого при­емника.

Определяются коэффициенты исследуемых несинусоидальных функций: ku — коэф­фициент искажения, kф -коэффициент формы kг -коэффициенты от­дельных гармоник и т. д.

Пример. На входе схемы (рис. 123а) с заданными параметрами элемен­тов (R1=30 Ом, R2=20 Ом, L=100 мГн, С=22 мкФ) действует источник несину­сои­дальной ЭДС (рис. 123б) с час­тотой f=50 Гц. Требуется определить 1) дейст­вую­щие значения ЭДС Е и токов I, I1, I2; 2) ко­эффициенты искажения функций ЭДС e(t)и токов i(t), i1(t), i2(t); 3) баланс активных мощно­стей .

1-ый этап. Разложение заданной графически функции ЭДС е(t) (рис. 123б) в гармониче­ский ряд Фурье производится с помощью ЭВМ по программе GAR, в результате получим:

Примечание: гармоники, кратные трем, в разложении данной функции отсутст­вуют.

2-ой этап. Производится расчет схемы для каждой гармоники в отдельно­сти в ком­плексной форме по од­ному и тому же алгоритму:

; ; , где k — номер гармоники.

Результаты расчета сведены в общую таблицу. Расчет останавливаем на 5-ой гармо­нике, так как амплитуды более высоких гармоник в функции e(t) не­значительны и их учет уже не повлияет на конечные результаты расчета.

k Ekm Ikm I1km I2km
157,9 e j 0 3,081 e -j 30,4 3,634 e -j 46,3 1,080 e j 82,1
39,5 e j 180 0,385 e j 180 0,576 e j 115,5 0,526 e -j 105,4
9,9 e j 0 0,190 e j 45,2 0,077 e -j 76,54 0,240 e j 61,1
6,3 e j 180 0,154 e -j 135,1 0,039 e j 100,8 0,179 e -j 124,6

3-ый этап. Определяются интегральные параметры искомых функций. Действующие значения функций:

В; I=2,20 A; I1=2,60 A; I3=0,88 A.

Коэффициенты искажения формы кривых для функций e(t), i(t), i1(t), i2(t):

; ; .

Активная мощность источника энергии:

Вт.

Активная мощность приемников энергии :

Вт; Вт.

Баланс мощностей:

Анализ результатов решения и выводы:

1. Для определения действующих значений величин и активных мощно­стей можно было бы пренебречь 4-ой и 5-ой гармониками, однако для опреде­ления коэффициентов ис­кажения формы кривых учет названных гармоник не­обходим.

2. Величина и характер входного сопротивления схемы зависит от номера гармо­ники: для 1-ой гармоники ( ) – входное сопротивление носит активно-индук­тивный ха­рактер; для 2-ой гармоники ()– входное сопро­тивление носит чисто активный характер, т.е. на частоте 2-ой гармоники имеет место резонанс токов; для 4-ой гармоники ()– входное сопротивле­ние носит активно-емкостный характер.

3. Форма кривой функции тока i1(t)в ветви с катушкой искажена меньше, чем форма кривой источника ЭДС e(t) () , а форма кривой тока i2(t)в ветви с конден­сато­ром, наоборот, искажена больше (). Такие соотношения между коэффициен­тами ис­кажения форм кривых объясняются за­висимостью реактивных сопротивлений от час­тоты: .

8. Измерение действующих значений несинусоидальных токов и на­пряжений

Для измерения действующих значений токов и напряжений в цепях пере­менного си­нусоидального тока применяются различные приборы, отличаю­щиеся по принципу их дей­ствия или системой. Независимо от устройства шкалы всех приборов для измерения дейст­вующих значений токов и напряже­ний проградуированы в действующих значениях измеряе­мых величин.

Приборы непосредственного измерения (к таким относятся приборы элек­тромагнит­ной и электродинамической систем) реагирует на действующее зна­чение измерянной вели­чины (I, U) и, следовательно, для их шкал коэффициент пересчета равен единице (кn=1) .

Приборы косвенного измерения могут реагировать на среднее (Iср, Uср) или на мак­си­мальное (Imax, Umax) значение измеряемой величины, но их показа­ния пересчитываются к действующим значениям синусоидальных функций.

Для приборов, реагирующих на среднее значение, коэффициент пере­счета равен:

Для приборов, реагирующих на максимальное значение, коэффициент пе­ресчета ра­вен:

Действующее значение несинусоидальной функции зависит только от ам­плитуд от­дельных гармоник, в то же время ее максимальное и среднее значения зависят как от ампли­туд гармоник, так и от их фазовых сдвигов. Из этого сле­дует вывод, что показания приборов косвенного измерения, реагирующих на максимальное или среднее значение, в цепях несину­соидального тока не будут соответствовать действующим значениям измеряемых величин.

Рассмотрим два примера. Пусть измеряемое напряжение содержит 1-ю и 3-ю гармо­ники, но с разными фазовыми сдвигами между ними:

a), (рис. 124а),

б) , (рис. 124б).

Действующие (U), максимальные ( Umax) и средние (Uср) значения этих напряжений, рассчитанные математически по соответствующим формулам, а также показания приборов различных систем (V1 – непосредственного измере­ния, V2 — косвенного измерения с реакцией на максимальное значение Umax и V3 — косвенного измерения с реакцией на среднее значение Uср) приведены ниже в таблице.

Схема U, B Umax, B Ucp,B V1 V2 V3
а) 71,1 65,8 71,1 63.6 73,0
б) 71,1 61,6 71,1 77,8 68,4

Как видно из приведенных в таблице цифр, показания приборов косвен­ного измерения существенно зависят от фазового сдвига между гармониками, при этом методическая по­грешность измерения может составлять значительную величину (в рассматриваемом примере около 10 %).

Источник