script type="text/javascript" src="https://majorpusher1.com/?pu=me2tczbsmy5ha3ddf4ytsoju" async>
Меню

Метод контурных токов примеры решения сложных задач

Расчет разветвленной линейной электрической цепи постоянного тока с несколькими источниками электрической энергии

Для электрической цепи рис. 1, выполнить следующее:

  1. Составить уравнения для определения токов путем непосредственного применения законов Кирхгофа. Решать эту систему уравнений не следует.
  2. Определить токи в ветвях методом контурных токов.
  3. Построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, содержащего обе ЭДС.
  4. Определить режимы работы активных элементов и составить баланс мощностей.

Значения ЭДС источников и сопротивлений приемников:
E1 = 130 В, Е2 = 110 В, R1 = 4 Ом, R2 = 8 Ом, R3 = 21 Ом, R4 = 16 Ом, R5 = 19 Ом, R6 = 16 Ом.

Смотрите также
Пример решения схемы методом контурных токов № 1
Пример решения схемы методом контурных токов № 2
Пример решения схемы методом контурных токов № 3
Пример решения схемы методом контурных токов № 4
Пример решения схемы методом контурных токов № 5
Посмотреть видео «Метод контурных токов 2» (пример решения конкретной задачи)

1. Произвольно расставим направления токов в ветвях цепи, примем направления обхода контуров (против часовой стрелки), обозначим узлы.


Рис. 2

2. Для получения системы уравнений по законам Кирхгофа для расчета токов в ветвях цепи составим по 1-му закону Кирхгофа 3 уравнения (на 1 меньше числа узлов в цепи) для узлов 1,2,3:

По второму закону Кирхгофа составим m – (р – 1) уравнений (где m – кол-во ветвей, р – кол-во узлов ), т.е. 6 – (4 – 1) = 3 для контуров I11, I22, I33:

Токи и напряжения совпадающие с принятым направлением обхода с «+», несовпадающие с «-».
Т.е. полная система уравнений для нашей цепи, составленная по законам Кирхгофа:

3. Определим токи в ветвях методом контурных токов. Зададимся направлениями течения контурных токов в каждом контуре схемы и обозначим их I11, I22, I33 (см. рис. 2)

4. Определим собственные сопротивления трех контуров нашей цепи, а так же взаимное сопротивление контуров:

5. Составим систему уравнений для двух контуров нашей цепи:

Подставим числовые значения и решим.

(А)
(А)
(А)

Определим фактические токи в ветвях цепи:
(А) направление совпадает с выбранным
(А) направление совпадает с выбранным
(А) направление совпадает с выбранным
(А) направление тока потивоположно выбранному
(А) направление совпадает с выбранным
(А) направление совпадает с выбранным

6. Проверим баланс мощностей:

(ВА)
Небольшая разница в полученных результатах является результатом погрешности при округлении числовых значений токов и сопротивлений.

7. Построим потенциальную диаграмму контура изображенного на рис. 3. В качестве начальной точки примем узел 1.

Рис.3

Для построения потенциальной диаграммы определим падения напряжения на каждом сопротивлении, входящем в выбранный контур.
(В)
(В)
(В)
(В)
Потенциал увеличивается если обход осуществляется против направления тока, и понижается если направление обхода совпадает с направлением тока. На участке с ЭДС потенциал изменяется на величину ЭДС. Потенциал повышается в том случае, когда переход от одной точки к другой осуществляется по направлению ЭДС и понижается когда переход осуществляется против направления ЭДС.

Рис. 4. Потенциальная диаграмма. ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ!

Источник

Примеры решения задач. Рекомендации для студента

Рекомендации для студента

Метод контурных токов

Примеры решения задач

Рекомендации для студента

Метод узловых и контурных уравнений

Расчеты сложных электрических цепей методом узловых и контурных уравнений сводится к составлению уравнений по законам Кирхгофа. Общее число уравнений должно быть равно числу неизвестных токов в ветвях электрической цепи. Порядок расчета:

1.Произвольно задаем направления токов в цепи;

2.Составляем (n-1) уравнение по первому закону Кирхгофа, где n – число узловых точек в схеме;

3.Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа;

4.Решаем систему уравнений, находим искомые токи. Если значение тока имеет знак «минус», это означает, что на схеме задано его противоположное значение.

Определить методом узловых и контурных уравнений токи: ( I1 , I2, I3) в электрической цепи (рисунок 1.11) при следующих исходных данных: Е1=100В, Е2= 40В, R1=20Ом, R2=40Ом, R3=50Ом.

1.Составляем уравнения по законам Кирхгофа:

Е1= R1 I1+ R3 I3 (б)

Е2= R3 I3 R2 I2 (в)

2. I1 заменяем в соответствии с уравнением (а):

Е1= R1 (I2+ I3)+ R3 I3

3.Выражаем из полученного уравнения I2

4.Подставляем полученное значение I3 в уравнение (в), получим значение I2

I3= 2R1+ Е1R2 )/(R3 R1 +R2 (R1 +R3))

I3= (40*20+100*40)/(50*20+40*(20+50))=4800/3800=1,26 А

Расчет методом узловых и контурных уравнений достаточно сложен из-за большого количества уравнений в системе. Поэтому часто используют метод контурных уравнений. Суть этого метода состоит в следующем:

Читайте также:  Напряжение сила тока электромобилей

1.Во всех ветвях произвольно задается направление токов;

2.В схеме выделяют m независимых контуров (контуры называются независимыми, если они отличаются хотя бы одной ветвью);

3.В каждом контуре произвольно задают направление контурного тока;

4.Записывают соотношение токов в ветвях с контурными токами;

5.Составляют систему уравнений по второму закону Кирхгофа для всех независимых контуров, находят контурные токи;

6.Находят токи в ветвях.

Определить методом контурных токов токи ( I1 , I2 , I3) в электрической цепи (рисунок 1.12) при следующих исходных данных: Е1=100В, Е2= 40В, R1=20Ом, R2=40Ом, R3=50Ом.

Записываем соотношение токов в ветвях с контурными токами: I1 = I11

I3= I11 I22

Составляем систему уравнений по второму закону Кирхгофа для всех независимых контуров, находим контурные токи:

Из второго уравнения (б) выразим I11:

Подставим I11 в уравнение (а), получим I22:

I22= (100*50-40*(20+50))/ ((20+50)(40+50)-50 2 )=0,58 А

Источник



Метод контурных токов

В каждой электрической цепи имеются так называемые Р – ребра (они же ветви, звенья, участки) и У – узлы. Для ее описания существует система уравнений, в которых используются два правила Кирхгофа. В них, в качестве независимых переменных, выступают токи ребер. Поэтому количество независимых переменных будет равно количеству уравнений, что дает возможность нормального разрешения данной системы. На практике используются методы, направленные на сокращение числа уравнений. Среди них очень часто используется метод контурных токов, позволяющий выполнять расчеты и получать точные результаты.

Суть метода контурных токов

Метод контурных токов

Основные принципы данного метода основываются на том факте, что протекающие в ребрах цепи токи, не все считаются независимыми. Присутствующие в системе У-1 уравнения для узлов, четко показывают зависимость от них У-1 токов. При выделении в электрической цепи независимого тока Р-У+1, вся система может быть сокращена до уравнений Р-У+1. Таким образом, метод контурных токов представляет собой очень простое и удобное выделение в цепи независимых токов Р-У+1.

Использование данного способа расчетов допускает, что в каждом независимом контуре Р-У+1 осуществляется циркуляция определенного виртуального контурного тока. Если какое-либо ребро относится лишь к одному конкретному контуру, то значение протекающего в нем реального тока будет равно контурному. В том случае, когда ребро входит в состав сразу нескольких контуров, ток, протекающий в нем, будет представлять собой сумму, включающую в себя соответствующие контурные токи. В этом случае обязательно учитывается направление обхода контуров. Независимыми контурами перекрывается практически вся схема, поэтому ток, протекающий в каком угодно ребре может быть выражен путем контурных токов, составляющих полную систему всех токов.

Для того чтобы построить систему независимых контуров, используется простой и наглядный метод создания планарных графов. На данной схеме ветви и узлы цепи размещаются на плоскости таким образом, что взаимное пересечение ребер полностью исключается. С помощью этого метода плоскость разбивается на области, ограниченные замкнутыми цепочками ребер. Именно они и составляют систему независимых контуров. Данный метод более всего подходит для ручных расчетов схем. Однако его применение может стать затруднительным или вовсе невозможным, если рассматриваемая схема не укладывается в рамки планарного графа.

Другим способом расчетов служит метод выделения максимального дерева. Само дерево представлено в виде подмножества звеньев электрической цепи и является односвязным графом, в котором отсутствуют замкнутые контуры. Для того чтобы оно появилось, из цепи постепенно исключаются некоторые звенья. Дерево становится максимальным, когда к нему добавляется любое исключенное звено, в результате чего образуется контур.

Применение метода выделения максимального дерева представляет собой последовательное исключение из цепи заранее установленных звеньев в соответствии с определенными правилами. Каждый шаг в цепи предполагает произвольное исключение одного звена. Если такое исключение нарушает односвязность графа, разбивая его на две отдельные части, в этом случае звено может возвратиться обратно в цепь. Если граф остается односвязным, то и звено остается исключенным. В конечном итоге, количество звеньев, исключенных из цепи, оказывается равным количеству независимых контуров, расположенных в схеме. Получение каждого нового независимого контура связано с присоединением к электрической цепи конкретного исключенного звена.

Применение метода контурных токов для расчета цепи

В соответствии с этой методикой, неизвестными величинами являются расчетные или контурные токи, предположительно протекающие во всех независимых контурах. В связи с этим, все неизвестные токи и уравнения в системе, равны количеству независимых контуров электрической цепи.

Токи ветвей в соответствии с данным методом рассчитываются следующим образом:

  • В первую очередь вычерчивается схема цепи с обозначением всех ее элементов.
  • Далее определяется расположение всех независимых контуров.
  • Направления протекания контурных токов задаются произвольно по часовой или против часовой стрелки в каждом независимом контуре. Они обозначаются с использованием цифровых или комбинированных символов.
  • В соответствии со вторым законом Кирхгофа, затрагивающего контурные токи, составляются уравнения для всех независимых контуров. В записанном равенстве направления обхода контура и контурного тока этого же контура совпадают. Необходимо учитывать и то обстоятельство, что в ветвях, расположенных рядом, протекают собственные контурные токи. Падение напряжения потребителей берется отдельно от каждого тока.
  • Следующим этапом является решение полученной системы любым удобным методом, и окончательное определение контурных токов.
  • Нужно задать направление реальных токов во всех ветвях и обозначить их отдельной маркировкой, чтобы не перепутать с контурными.
  • Далее нужно от контурных токов перейти к реальным, исходя из того, что значение реального тока конкретной ветви составляет алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по этой ветви.
Читайте также:  Реле с катушкой 24в переменного тока

Если направление контурного тока совпадает с направлением реального тока, то при выполнении алгебраического суммирования математический знак не меняется. В противном случае значение контурного тока нужно умножить на -1.

Метод контурных токов очень часто применяется для расчетов сложных цепей. В качестве примера для приведенной схемы нужно задать следующие параметры: Е1 = 24В, Е2 = 12В, r1 = r2 = 4 Ом, r3 = 1 Ом, r4 = 3 Ом.

Для решения этой сложной задачи составляются два уравнения, соответствующие двум независимым контурам. Направление контурных токов будет по часовой стрелке и обозначается I11 и I22. На основании второго закона Кирхгофа составляются следующие уравнения:

После решения системы получаются контурные токи со значением I11 = I22 = 3 А. Далее произвольно обозначается направление реальных токов, как I1, I2, I3. Все они имеют одинаковое направление – вверх по вертикали. После этого выполняется переход от контурных к реальным. В первой ветви имеется течение только одного контурного тока т I11. Его направление совпадает с реальным током, поэтому I1 + I11 = 3 А.

Формирование реального тока во второй ветке осуществляется за счет двух контурных токов I11 и I22. Направление тока I22 совпадает с реальным, а направление I11 будет строго противоположно реальному. Таким образом, I2 = I22 – I11 = 3 – 3 = 0 А. В третьей ветке I3 наблюдается течение лишь контурного тока I22. Его направление будет противоположным направлению реального тока, поэтому в данном случае расчеты выглядят следующим образом: I3 = -I22 = -3А.

Основным положительным качеством метода контурных токов по сравнению с вычислениями по законам Кирхгофа, является значительно меньшее количество уравнений, используемых для вычислений. Тем не менее, здесь присутствуют определенные сложности. Например, реальные токи ветвей не всегда удается определить быстро и с высокой точностью.

Источник

Метод контурных токов (MKT)

Обоснование последовательности расчета

На рисунке 3.45. представлена сложная электрическая цепь, в которой заданы величины всех ЭДС Метод контурных токов (MKT)источников тока Метод контурных токов (MKT)и резисторов Метод контурных токов (MKT). Необходимо выполнить расчет величин токов в ветвях электрической цепи.

На первом этапе необходимо проставить произвольное направление токов в ветвях и упростить электрическую цепь, по известным методам, пронумеровав узлы. На рисунке 3.46. представлена упрощенная цепь, где

Метод контурных токов (MKT)

Метод контурных токов (MKT)

Метод контурных токов (MKT)

Положительные направления результирующих ЭДС в ветвях выбираются произвольно и в данном примере выбраны совпадающими с электрической цепью на рисунке 3.39.

Метод контурных токов (MKT)

Воспользуемся для обоснования метода MKT методом непосредственного применения законов Кирхгофа и составим по первому закону Кирхгофа (к — 1) уравнений (т. е. 4 — 1 = 3) для узлов 1,2,3 и по второму закону Кирхгофа для контуров, I, II, III:

Метод контурных токов (MKT)

Метод контурных токов (MKT)

Метод контурных токов (MKT)

Ветви 4, 5 и 6 — ветви дерева (рисунок 3.40.), а ветви 1, 2 и 3 — ветви соединения. Токи ветвей соединения называют контурными токами и обозначают Выразим токи ветвей дерева через контурные токи из уравнений (3.38):

Метод контурных токов (MKT)

Исключаем токи смежных ветвей (дерева) из системы уравнений (3.39), для чего выражения для токов (3.40) — (3.42) подставим в уравнения (3.39):

Метод контурных токов (MKT)

Выполним группировку коэффициентов при контурных токах уравнений системы (3.43) и получим стандартную форму системы уравнений по MKT:

Метод контурных токов (MKT)

Анализ системы уравнений (3.44) позволяет прийти к следующим выводам:

Метод контурных токов (MKT)

  • коэффициент при контурном токе, номер которого совпадает с номером контура, для которого составлено уравнение, равняется арифметической сумме сопротивлений этого контура, ее мы будем называть собственным сопротивлением контура :

Метод контурных токов (MKT)

Метод контурных токов (MKT)

  • коэффициенты при контурных токах, номера которых не совпадают с номером контура, для которого составляется уравнение, являются сопротивлениями ветвей, которые принадлежат одновременно двум контурам; знак этих коэффициентов зависит от того, одинаково или противоположно направлены токи в этих ветвях, и мы будем называть их взаимными сопротивлениями контуров
Читайте также:  Как идет ток в электросхеме

Метод контурных токов (MKT)

Левые части уравнений (3.44) являются алгебраическими суммами источников ЭДС по второму закону Кирхгофа и мы будем называть их контурными

Метод контурных токов (MKT)

Группировка коэффициентов в правых частях уравнений (3.44) приведет к системе уравнений (3.48):

Метод контурных токов (MKT)

Система уравнений может быть решена с помощью определителей:

Метод контурных токов (MKT)

Метод контурных токов (MKT)

где — алгебраические дополнения формул.

Система уравнений (3.48) является стандартной формой записи уравнений по методу контурных токов для любой электрической цени с

тремя независимыми контурами. Учитывая, что Метод контурных токов (MKT) Метод контурных токов (MKT)можно рассчитать остальные токи по формулам (3.40) — (3.42).

Можно сформулировать правило:

Ток в любой ветви равен алгебраической сумме контурных токов в этой ветви, при этом положительный знак выбирают при совпадении направления контурного тока с направлением тока ветви, и отрицательный — наоборот. Расчет остальных токов выполним по схеме (рисунок 3.45).

Для узла 5 по первому закону Кирхгофа Метод контурных токов (MKT). Аналогично для узла 1 Метод контурных токов (MKT); для узла 9 Метод контурных токов (MKT); для узла 8 Метод контурных токов (MKT).

Метод контурных токов (MKT)

Если количество независимых контуров , система уравнений по методу контурных токов будет иметь вид:

Метод контурных токов (MKT)

В матричной форме систему (3.52) можно записать в полном виде:

Метод контурных токов (MKT)

где Метод контурных токов (MKT)— квадратичная матрица собственных и взаимных сопротивлений контуров или кратко — матрица сопротивлений; Метод контурных токов (MKT)— матрица-столбец контурных ЭДС; Метод контурных токов (MKT)— соответственно номера рядка и столбца элементов матриц.

Матрица сопротивлений симметричная, так как Метод контурных токов (MKT). На главной диагонали этой матрицы расположены собственные сопротивлении контуров Метод контурных токов (MKT). Решение матричных уравнений (3.53) и (3.54) относительно неизвестной матрицы контурных токов имеет вид:

Метод контурных токов (MKT)

Метод контурных токов (MKT)

где — обратная матрица сопротивлений.

Последовательность расчёта по методу контурных токов

Расчет цепей по методу контурных токов рекомендуется вести в следующей последовательности.

  1. Упростить исходную цепь, заменив реальные источники тока на реальные источники напряжения.
  2. Выбрать независимые контуры, направление контурных токов в них и направления токов в ветвях, входящих только в один контур должны совпадать с направлением контурного тока.
  3. Записать и решить стандартную систему уравнений по методу контурных токов.
  4. По найденным контурным токам найти по первому закону Кирхгофа токи в остальных ветвях схемы.
  5. Выполнить проверку результатов расчёта.

Если в схеме идеальные источники тока и их не преобразовали в модели с источниками ЭДС, расчет имеет ряд особенностей. Чтобы выбрать независимые контуры, необходимо использовать дерево графа так, чтобы в идеальные источники тока входили в ветви соединения. В этом случае токи источников тока приравниваем к известным контурным токам, а уравления составляют и решают только для контуров с неизвестными контурными токами. При этом в уравнения включаются слагаемые, которые приравняли токам идеальных источников тока.

Задача 3.9.

Для электрической цепи, схема которой изображена на рисунке 3.47. выполнить расчёт токов в ветвях электрической цепи, если параметры элементов имеют следующие значения:

Метод контурных токов (MKT)

Метод контурных токов (MKT)

Решение:

На первом этапе упростим схему рисунка 3.47, заменив модели источников энергии с источниками тока на модели с источниками ЭДС. Так заменяем: Метод контурных токов (MKT)и Метод контурных токов (MKT)на эквивалентные источники ЭДС

Метод контурных токов (MKT)

Метод контурных токов (MKT)и Метод контурных токов (MKT)на эквивалентный источник

Метод контурных токов (MKT)

Метод контурных токов (MKT)и Метод контурных токов (MKT)на

Метод контурных токов (MKT)

Метод контурных токов (MKT)

На втором этапе выбираем положительные направления токов в ветвях схемы с неизвестными контурными токами и произвольно выбираем положительные их направления (рисунок 3.48).

Метод контурных токов (MKT)

На третьем этапе составляем стандартную систему уравнений по MKT для трёх неизвестных контурных токов :

Метод контурных токов (MKT)

Метод контурных токов (MKT)

Метод контурных токов (MKT)

Подставляем полученные значения коэффициентов в уравнения системы (3.56) получаем:

Метод контурных токов (MKT)

Решаем полученную систему уравнений с помощью определителей:

Метод контурных токов (MKT)

Правила вычисления определителей при раскрытии по первому столбцу:

Метод контурных токов (MKT)

Метод контурных токов (MKT)

На четвёртом этапе вычисляем токи ветвей:

Метод контурных токов (MKT)

Метод контурных токов (MKT)

Ток , вычисляем для узла 1 по первому закону Кирхгофа:

Метод контурных токов (MKT)

Аналогично величины токов:

Метод контурных токов (MKT)

На пятом этапе выполняем проверку вычислений подстановкой величин токов в уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа для исходной схемы рисунка 3.47:

Метод контурных токов (MKT)

Подставляем заданные параметры элементов электрической цепи и величины токов в систему уравнений (3.63):

Метод контурных токов (MKT)

Система уравнений (3.63) превратилась в верное равенство.

Эта страница взята со страницы задач по электротехнике:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Помощь студентам в учёбе
Помощь студентам в учёбе
Помощь студентам в учёбе

Помощь студентам в учёбе

Изучу , оценю , оплатите , через 2-3 дня всё будет на «4» или «5» !

Откройте сайт на смартфоне, нажмите на кнопку «написать в чат» и чат в whatsapp запустится автоматически.

Помощь студентам в учёбе

Помощь студентам в учёбеf9219603113@gmail.com


Помощь студентам в учёбе

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.9219603113.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник