Меню

Общая сила тока в разветвленной цепи

Общая сила тока в разветвленной цепи

До сих пор мы рассматривали простейшие электрические цепи, состоящие только из одного замкнутого проводящего контура (рис. 173). Такие цепи называются неразветвленными. На всех участках неразветвленной цепи силы тока одинаковы. Расчет неразветвленных цепей (т. е. определение силы тока, э. д. с. и сопротивления) легко выполняется с помощью законов Ома (4) и (14).

Более сложной является разветвленная электрическая цепь. Она состоит из нескольких замкнутых проводящих контуров , имеющих общие участки; в каждом контуре может быть несколько источников тока (рис. 174). Силы тока на отдельных участках замкнутого контура разветвленной цепи могут быть различными

как по величине, так и по направлению (см., например, контур Непосредственный расчет разветвленной цепи по законам Ома затруднителен, но может быть значительно упрощен применением правил Кирхгофа (сформулированных в 1847 г. Кирхгофом).

Назовем узлами разветвлений такие точки цепи, в которых сходится не менее трех проводников (например, точка А на рис. 174). При этом ток, входящий в узел, будем считать положительным, а ток, выходящий из узла, — отрицательным. Первое правило Кирхгофа утверждает, что

алгебраическая сумма сил тока в узле разветвления равна нулю:

Соотношение (15) выражает тот факт, что при постоянном токе не происходит накопления зарядов в узлах (потенциалы узлов остаются неизменными). Следовательно, за единицу времени одинаковое количество электричества входит в узел и выходит из него.

Применительно к узлу А первое правило Кирхгофа запишется так:

Второе правило Кирхгофа относится к замкнутым контурам разветвленной цепи. Условимся считать положительным направление обхода контура по часовой стрелке. Для контура оно указано прерывистой линией со стрелкой. Токи, идущие в положительном направлении обхода, будем считать положительными, противоположные токи — отрицательными. Точно так же будем приписывать электродвижущим силам знак плюс, если они создают ток в положительном направлении обхода контура; в противном случае будем приписывать электродвижущим силам знак минус. Второе правило Кирхгофа утверждает, что

в замкнутом контуре разветвленной цепи алгебраическая сумма электродвижущих сил источников тока равна алгебраической сумме произведений сил тока на сопротивления соответствующих участков этого контура:

Соотношение (16) является обобщением закона Ома (13) на случай контура разветвленной цепи, содержащей несколько источников тока. Отметим, что, не будучи связанным с постоянством тока, второе правило Кирхгофа применимо также и к цепи переменного тока.

При расчете разветвленной цепи надо, пользуясь правилами Кирхгофа, составить независимые уравнения для нескольких узлов (15) и контуров (16); число уравнений должно равняться числу искомых величин (сил тока, э. д. с. и сопротивлений). Для составления независимых уравнений надо испольвовать только такие контуры, которые различаются хотя бы одним участком, и только такие узлы, которые различаются хотя бы одной силой тока. Направления

искомых сил тока выбираются произвольным образом. Если направление, принятое для какой-либо из сил тока, не соответствует действительному, то в результате расчета по правилам Кирхгофа эта сила получится отрицательной.

Чтобы лучше освоить применение правил Кирхгофа, рассмотрим конкретный числовой пример.

Разветвленная цепь состоит из трех гальванических элементов и трех вольтметров, соединенных по схеме, изображенной на рис. 175. Электродвижущие силы элементов имеют значения Вольтметры обладают сопротивлениями . Необходимо определить силы тока в вольтметрах (пренебрегая сопротивлением гальванических элементов).

В цепи имеются два узла и три контура Очевидно, что для них можно составить только три независимых уравнения (для одного узла и для двух контуров). Этого достаточно для нахождения трех сил тока Выбрав произвольным образом направления сил тока (указаны на рисунке стрелками), напишем уравнения: для узла А

Выразив из первого уравнения силу тока

и подставив ее в два других уравнения, напишем:

Подставив численные значения э. д. с. и сопротивлений, получим систему уравнений

решая которую, найдем (микроампер) и Затем из первого уравнения получим

Пользуясь правилами Кирхгофа, легко рассчитать сопротивление цепи, составленной из нескольких

(например, трех) проводников, соединенных параллельно (рис. 176). Для контура не содержащего э. д. с., можем написать

Следовательно, силы в параллельно соединенных проводниках обратно пропорциональны сопротивлениям проводников. Для узла А

но, согласно закону Ома (4),

где напряжение, приложенное к проводникам; полное сопротивление параллельно соединенных проводников. Тогда получим

Данный вывод справедлив для любого числа проводников. Поэтому

т. е. полная проводимость параллельного соединения проводников равна сумме проводимостей отдельных проводников. Таким образом, при параллельном соединении нескольких проводников их общая проводимость больше проводимости каждого отдельного проводника, а общее сопротивление меньше сопротивления каждого отдельного проводника.

На практике часто приходится от тока основной сети ответвлять определенную часть в некоторый участок цепи, пропуская остальную часть тока через параллельно подключенное к этому участку сопротивление, называемое шунтом. Сопротивление шунта рассчитывается на основании формулы (17). Пусть, например, надо пропустить через амперметр часть тока (рис. 177, а). Введем обозначения: сопротивления шунта и амперметра, силы тока через шунт и амперметр. Согласно формуле (17),

Учитывая, что, по условию, а согласно правилу Кирхгофа, получим выражение для расчета сопротивления шунта:

Читайте также:  Кремний хорошо проводит электрический ток или нет

Шунтированным амперметром можно измерять силы тока, превышающие те, для которых данный амперметр был предназначен.

Нередко также встречается необходимость измерять вольтметром напряжения, превышающие те, для которых он предназначен. В этом случае надо увеличить сопротивление вольтметра, последовательно присоединив в нему дополнительное сопротивление

Пусть, например, требуется измерить напряжение на участке электрической цепи вольтметром У, который рассчитан на напряжение раз меньшее, чем V (рис. 177, б). Определим величину необходимого дополнительного сопротивления

Обозначив напряжение на дополнительном сопротивлении через и силу тока в нем через можем написать

По условию, тогда

что после сокращения на I даст искомое выражение для расчета дополнитель» ного сопротивления:

Само собой разумеется, что результаты измерений, полученные с помощью шунтированного амперметра или вольтметра с дополнительным сопротивлением» надо увеличить в раз.

Источник

Общая сила тока в разветвленной цепи

Для упрощения расчетов сложных электрических цепей, содержащих неоднородные участки, используются правила Кирхгофа , которые являются обобщением закона Ома на случай разветвленных цепей.

В разветвленных цепях можно выделить узловые точки ( узлы ), в которых сходятся не менее трех проводников (рис. 1.10.1). Токи, втекающие в узел, принято считать положительными; вытекающие из узла – отрицательными.

В узлах цепи постоянного тока не может происходить накопление зарядов. Отсюда следует первое правило Кирхгофа :

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения электрического заряда.

В разветвленной цепи всегда можно выделить некоторое количество замкнутых путей, состоящих из однородных и неоднородных участков. Такие замкнутые пути называются контурами . На разных участках выделенного контура могут протекать различные токи. На рис. 1.10.2 представлен простой пример разветвленной цепи. Цепь содержит два узла и , в которых сходятся одинаковые токи; поэтому только один из узлов является независимым ( или ).

В цепи можно выделить три контура , и . Из них только два являются независимыми (например, и ), так как третий не содержит никаких новых участков.

Второе правило Кирхгофа является следствием обобщенного закона Ома.

Запишем обобщенный закон Ома для участков, составляющих один из контуров цепи, изображенной на рис. 1.10.2, например, . Для этого на каждом участке нужно задать положительное направление тока и положительное направление обхода контура . При записи обобщенного закона Ома для каждого из участков необходимо соблюдать определенные «правила знаков», которые поясняются на рис. 1.10.3.

Для участков контура обобщенный закон Ома записывается в виде:

Складывая левые и правые части этих равенств и принимая во внимание, что , получим:

.

Аналогично, для контура можно записать:

22 + 33 = 2 + 3.

Второе правило Кирхгофа можно сформулировать так: алгебраическая сумма произведений сопротивления каждого из участков любого замкнутого контура разветвленной цепи постоянного тока на силу тока на этом участке равна алгебраической сумме ЭДС вдоль этого контура .

Первое и второе правила Кирхгофа, записанные для всех независимых узлов и контуров разветвленной цепи, дают в совокупности необходимое и достаточное число алгебраических уравнений для расчета значений напряжений и сил токов в электрической цепи. Для цепи, изображенной на рис. 1.10.2, система уравнений для определения трех неизвестных токов 1, 2 и 3 имеет вид:

11 + 22 = – 12,

22 + 33 = 2 + 3,

1 + 2 + 3 = 0.

Таким образом, правила Кирхгофа сводят расчет разветвленной электрической цепи к решению системы линейных алгебраических уравнений. Это решение не вызывает принципиальных затруднений, однако, бывает весьма громоздким даже в случае достаточно простых цепей. Если в результате решения сила тока на каком-то участке оказывается отрицательной, то это означает, что ток на этом участке идет в направлении, противоположном выбранному положительному направлению.

Источник



Расчет электрических цепей

Для вычисления рабочих параметров радиотехнических устройств и отдельных схем применяют специальные методики. После изучения соответствующих технологий результат можно узнать быстро, без сложных практических экспериментов. Корректный расчет электрических цепей пригодится на стадии проектирования и для выполнения ремонтных работ.

Задачи на расчет электрических цепей решают с применением типовых алгоритмов

Категории элементов и устройств электрической цепи

Для условного изображения определенной цепи применяют специальную схему. Кроме отдельных физических компонентов, она содержит сведения о направлении (силе) токов, уровнях напряжения и другую информацию. Качественная модель показывает реальные процессы с высокой точностью.

Компоненты электрической цепи:

  • источник постоянного или переменного тока (Е) – аккумулятор или генератор, соответственно;
  • пассивные элементы (R) – резисторы;
  • компоненты с индуктивными (L) и емкостными (С) характеристиками;
  • соединительные провода.

Типовые названия

На рисунке обозначены:

  • ветви – участки цепи с одним током;
  • узлы – точки соединения нескольких ветвей;
  • контур – замкнутый путь прохождения тока.

При решении практических задач выясняют, как узнать силу тока в отдельных ветвях. Полученные значения используют для анализа электрических параметров. В частности, можно определять падение напряжения на резисторе, мощность потребления подключенной нагрузки. При расчете цепей переменного тока приходится учитывать переходные энергетические процессы, влияние частоты.

Метод расчета по законам Ома и Кирхгофа

До изучения технологий вычислений необходимо уточнить особенности типовых элементов при подключении к разным источникам питания. При постоянном токе сопротивлением индуктивности можно пренебречь. Конденсатор эквивалентен разрыву цепи. Также следует учитывать следующие различия разных видов соединений резисторов:

  • последовательное – увеличивает общее сопротивление;
  • параллельное – распределяет токи по нескольким ветвям, что улучшает проводимость.
Читайте также:  Волосы когда ток ударил

Закон Ома для участка цепи

Типовая аккумуляторная батарея легкового автомобиля вырабатывает напряжение U = 12 V. Бортовой или внешний амперметр покажет соответствующее значение при измерении. Соединение клемм проводом недопустимо, так как это провоцирует короткое замыкание. Если жила тонкая (

К сведению. Результат показанного расчета пригодится для поиска подходящего резистора. Следует делать запас в сторону увеличения. По стандарту серийных изделий подойдет элемент с паспортной номинальной мощностью 5 Вт.

На практике приходится решать более сложные задачи. Так, при значительной длине линии нужно учесть влияние соединительных ветвей цепи. Через стальной проводник ток будет протекать хуже, по сравнению с медным аналогом. Следовательно, надо в расчете учитывать удельное сопротивление материала. Короткий провод можно исключить из расчета. Однако в нагрузке может быть два элемента. В любом случае общий показатель эквивалентен определенному сопротивлению цепи. При последовательном соединении Rэкв = R1 + R2 +…+ Rn. Данный метод пригоден, если применяется постоянный ток.

Закон Ома для полной цепи

Для вычисления такой схемы следует добавить внутреннее сопротивление (Rвн) источника. Как найти ток, показывает следующая формула:

Вместо напряжения (U) при расчетах часто используют типовое обозначение электродвижущей силы (ЭДС) – E.

Первый закон Кирхгофа

По классической формулировке этого постулата алгебраическая сумма токов, которые входят и выходят из одного узла, равна нулю:

I1 + I2 + … + In = 0.

Это правило действительно для любой точки соединения ветвей электрической схемы. Следует подчеркнуть, что в данном случае не учитывают характеристики отдельных элементов (пассивные, реактивные). Можно не обращать внимания на полярность источников питания, включенных в отдельные контуры.

Чтобы исключить путаницу при работе с крупными схемами, предполагается следующее использование знаков отдельных токов:

  • входящие – положительные (+I);
  • выходящие – отрицательные (-I).

Второй закон Кирхгофа

Этим правилом установлено суммарное равенство источников тока (ЭДС), которые включены в рассматриваемый контур. Для наглядности можно посмотреть, как происходит распределение контрольных параметров при последовательном подключении двух резисторов (R1 = 50 Ом, R2 = 10 Ом) к аккумуляторной батарее (Uакб = 12 V). Для проверки измеряют разницу потенциалов на выводах пассивных элементов:

  • UR1 = 10 V;
  • UR1 = 2 V;
  • Uакб = 12 V = UR1 + UR2 = 10 + 2;
  • ток в цепи определяют по закону Ома: I = 12/(50+10) = 0,2 А;
  • при необходимости вычисляют мощность: P = I2 *R = 0,04 * (50+10) = 2,4 Вт.

Второе правило Кирхгофа действительно для любых комбинаций пассивных компонентов в отдельных ветвях. Его часто применяют для итоговой проверки. Чтобы уточнить корректность выполненных действий, складывают падения напряжений на отдельных элементах. Следует не забывать о том, что дополнительные источники ЭДС делают результат отличным от нуля.

Метод преобразования электрической цепи

Как определить силу тока в отдельных контурах сложных схем? Для решения практических задач не всегда нужно уточнение электрических параметров на каждом элементе. Чтобы упростить вычисления, используют специальные методики преобразования.

Расчет цепи с одним источником питания

Для последовательного соединения пользуются рассмотренным в примере суммированием электрических сопротивлений:

Rэкв = R1 + R2 + … + Rn.

Контурный ток – одинаковый в любой точке цепи. Проверять его можно в разрыве контрольного участка мультиметром. Однако на каждом отдельном элементе (при отличающихся номиналах) прибор покажет разное напряжение. По второму закону Кирхгофа можно уточнить результат вычислений:

E = Ur1 + Ur2 + Urn.

Параллельное соединение резисторов, схемотехника и формулы для расчетов

В этом варианте в полном соответствии с первым постулатом Кирхгофа токи разделяются и соединяются во входных и выходных узлах. Показанное на схеме направление выбрано с учетом полярности подключенного аккумулятора. По рассмотренным выше принципам сохраняется базовое определение равенства напряжений на отдельных компонентах схемы.

Как найти ток в отдельных ветвях, демонстрирует следующий пример. Для расчета приняты следующие исходные значения:

  • R1 = 10 Ом;
  • R2 = 20 Ом;
  • R3= 15 Ом;
  • U = 12 V.

По следующему алгоритму будут определяться характеристики цепи:

  • базовая формула для трех элементов:

Rобщ = R1*R2*R3/(R1*R2 + R2*R3 + R1*R3.

  • подставив данные, вычисляют Rобщ = 10 * 20 * 15 / (10*20 + 20*15 +10*15) = 3000 /(200+300+150) = 4,615 Ом;
  • I = 12/ 4,615 ≈ 2,6 А;
  • I1 = 12/ 10 = 1,2 А;
  • I2 = 12/20 = 0,6 А;
  • I3 = 12/15 = 0,8 А.

Как и в предыдущем примере, рекомендуется проверить результат вычислений. При параллельном соединении компонентов должно соблюдаться равенство токов на входе и суммарного значения:

I = 1,2 + 0,6 + 0,8 = 2,6 А.

Если применяется синусоидальный сигнал источника, вычисления усложняются. При включении в однофазную розетку 220V трансформатора придется учитывать потери (утечку) в режиме холостого хода. В этом случае существенное значение имеют индуктивные характеристики обмоток и коэффициент связи (трансформации). Электрическое сопротивление (ХL) зависит от следующих параметров:

  • частоты сигнала (f);
  • индуктивности (L).

Вычисляют ХL по формуле:

Чтобы находить сопротивление емкостной нагрузки, подойдет выражение:

Следует не забывать о том, что в цепях с реактивными компонентами сдвигаются фазы тока и напряжения.

Расчет разветвленной электрической цепи с несколькими источниками питания

Пользуясь рассмотренными принципами, вычисляют характеристики сложных схем. Ниже показано, как найти ток в цепи при наличии двух источников:

  • обозначают компоненты и базовые параметры во всех контурах;
  • составляют уравнения для отдельных узлов: a) I1-I2-I3=0, b) I2-I4+I5=0, c) I4-I5+I6=0;
  • в соответствии со вторым постулатом Кирхгофа, можно записать следующие выражения для контуров: I) E1=R1 (R01+R1)+I3*R3, II) 0=I2*R2+I4*R4+I6*R7+I3*R3, III) -E2=-I5*(R02+R5+R6)-I4*R4;
  • проверка: d) I3+I6-I1=0, внешний контур E1-E2=I1*(r01+R1)+I2*R2-I5*(R02+R5+R6)+I6*R7.
Читайте также:  Что такое частица тока

Пояснительная схема к расчету с двумя источниками

Дополнительные методы расчета цепей

В зависимости от сложности устройства (электрической схемы), выбирают оптимальную технологию вычислений.

Метод узлового напряжения

Основные принципы этого способа базируются на законе Ома и постулатах Кирхгофа. На первом этапе определяют потенциалы в каждом узле. Далее вычисляют токи в отдельных ветвях с учетом соответствующих электрических сопротивлений (отдельных компонентов или эквивалентных значений). Проверку делают по рассмотренным правилам.

Метод эквивалентного генератора

Эта технология подходит для быстрого расчета тока в одной или нескольких контрольных ветвях.

Графическое пояснение

В данной методике общую цепь представляют в виде источника тока с определенным напряжением и внутренним сопротивлением. Далее выполняют вычисления по контрольной ветви с применением стандартного алгоритма.

Видео

Источник

Общая сила тока в разветвленной цепи

Вы будете перенаправлены на Автор24

Разветвленные цепи

На практике цепи могут быть очень сложными, могут состоять из нескольких источников тока, большого количества сопротивлений. Однако в цепь любой сложности входят два вида простых элементов:

  1. узлов — точек цепи, в которых встречаются более чем два проводника с током (рис.1) (Например, точки С и D);
  2. замкнутых контуров (рис. 1) (ABDCA, CDFEC, ABFEA).

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа

Правила Кирхгофа

Правила Кирхгофа используют для создания системы уравнений, из которой находят силы тока для цепи любой сложности. По своей сути они — законы Ома для каждого из контуров и законы сохранения заряда в каждом узле.

Готовые работы на аналогичную тему

Первое правило Кирхгофа (правило узлов): Сумма алгебраических значений токов $<(I>_l)$ сходящихся в каждом узле, равна нулю:

где n- количество проводников, сходящихся в узле. Надо отметить, что положительными обычно принимают токи, которые к узлу подходят.

Правило Кирхгофа номер два: (правило контуров): Сумма произведений на сопротивления соответствующих участков каждого из замкнутых контуров равна сумме алгебраических значений сторонних ЭДС ($\mathcal E$) в каждом замкнутом контуре:

В случае, когда используют правило Кирхгофа номер 2 задают направление обхода контура. Токи $<(I>_l)$, которые совпали по направлению с направлением обхода, полагают большими нуля. ЭДС $<(\mathcal E>_i)$ считают положительными, в том случае если они создают токи, которые направлены в сторону заданного обхода контура.

Система уравнений, которая получается в результате использования правил Кирхгофа, является полной и позволяет вычислять все токи в системе.

Таким образом, применения правил Кирхгофа следующий:

  1. произвольным образом выбираем для всех участков цепи направления токов;
  2. для $m$ узлов цепи записываем $m-1$ независимых уравнений первого правила Кирхгофа для токов;
  3. последовательно выделяем произвольные замкнутые контуры, которые содержат не меньше одного участка цепи, не входящего в предыдущие контуры. В разветвленной цепи, которая состоит из $n$ ветвей и $m\ $узлов, количество независимых уравнений, записанных с использованием второго правила Кирхгофа равно $n-m+1$.

Итак, если выписывать все уравнения по правилам Кирхгофа для всех контуров и всех узлов, то получится уравнений больше, чем необходимо, так как не все уравнения независимы. Чтобы не усложнять себе работы и не выписывать лишних уравнений, надо руководствоваться следующими правилами: записывая очередное уравнение для замкнутых контуров, надо следить, чтобы оно имело хотя бы одну величину, которая раньше в уравнения не входила, если все величины в уравнениях уже были, такое уравнение лишнее. Аналогично делают при выписывании уравнений для узлов. Затем, контроль правильности в написании уравнений состоит в проверке полноты системы уравнений. Количество уравнений должно быть равно числу неизвестных.

Задание: В электрической схеме, приведенной на рис. 2, заданы $R_2,\ R_3,\ R_4$ и ЭДС: $\mathcal E_1,\ \mathcal E_2$. Требуется определить $R_1$, при условии, что ток в цепи гальванометра G отсутствует ($I_G=0)$.

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа

Зададим направления токов рис. 2, тогда для узлов A,B,C первое правило Кирхгофа записывается в виде:

\[I_2-I_1=0\left(1.1\right).\] \[I_1+I_3=I(1.2),\] \[I_4-I_3=0\left(1.3\right).\]

За направление обхода контура примем движение против часовой стрелки, получим:

Решаем систему уравнений (1.1)-(1.6)и имеем:

При $\mathcal E_1=0$ результат не зависит от $ЭДС$, получаем схему мостика Уитстона для измерения сопротивлений:

Ответ: Искомое $R_1$ в заданной схеме можно найти в соответствии с формулой: $R_1=\frac-\frac\cdot \frac<\mathcal E_1><\mathcal E_2>$.

Задание: $R_1,R_2,R_3$, а также источник тока с ЭДС равным $\mathcal E_1$ соединены как показано на рис.3. Определите ЭДС источника тока, который надо подключить в цепь между точками А и В, чтобы через $R_3$ шел ток I в направлении, которое указано стрелкой. Сопротивлением источника пренебречь.

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа

За основу решения примем законы Кирхгофа одно для токов (2.1):

Выберем направление обхода — против часовой стрелки. Запишем два уравнения, используя второе правило Кирхгофа:

\[I_1R_1+I_2R_2=-_1\left(2.2\right).\] \[<-I>_2R_2-IR_3=\mathcal E \left(2.3\right).\]

Из уравнения (2.1) выразим $I_1$, получим:

Подставим в (2.2), получим:

\[\left(I_2-I\right)R_1+I_2R_2=-\mathcal E_1\to I_2=\frac\left(2.5\right).\]

Подставим $I_2$ из (2.5) в (2.3) получим искомую ЭДС:

Ответ: $\mathcal E=-\fracR_2-IR_3$ у ЭДС источника в точке A — минус, в точке В — плюс.

Источник