Меню

Расчет линейных цепей постоянного тока методом узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов – один из методов анализа электрической цепи, который целесообразно использовать, когда количество узлов в цепи меньше или равно числу независимых контуров. Данный метод основан на составлении уравнений по первому закону Кирхгофа. При этом, потенциал одного из узлов цепи принимается равным нулю, что позволяет сократить число уравнений до n-1.

Метод узловых потенциалов

1 – Для начала примем узел 4 за базовый и будем считать его потенциал равным нулю.

2 — Составим уравнения по первому закону Кирхгофа для узла 1,2,3 (для узла 4 не составляем, так как это не требуется)

Метод узловых потенциалов

3 – Используя обобщённый закон Ома составим уравнения для нахождения каждого из токов (за ϕi берем потенциал узла из которого ток выходит, а за ϕ потенциал узла в который ток входит) Gi – проводимость i-ой ветви.

Метод узловых потенциалов

4 – Подставим полученные выражения для токов в уравнения из пункта 2, получим

Метод узловых потенциалов

Данная система уравнений записана для цепи состоящей из 4 узлов, а для n узлов справедливо

Метод узловых потенциалов

Проводимости G11,G22 и т.д. – сумма проводимостей сходящихся в узле (собственные проводимости), всегда берутся со знаком плюс. Проводимости G12,G21 и т.д. проводимости ветвей соединяющих узлы (общие проводимости), всегда берутся со знаком минус.

Если источник тока или ЭДС направлен к узлу, то берем со знаком плюс, в противном случае со знаком минус.

5 – Решив систему уравнений из пункта 4 любым доступным способом, найдем неизвестные потенциалы в узлах, а затем определим с помощью них токи.

Метод узловых потенциалов

Правильность решения проверим с помощью баланса мощностей

Метод узловых потенциалов

Задача решена верно методом узловых потенциалов.

Источник

Метод узловых потенциалов

Введение

Расчет параметров линейных электрических цепей

Вариант R1 R2 R3 R4’ R4’’ R5 R6’ R6’’ E2 E3 I2 I3
6,5 2,5 5,5 0,4

Замена схемы эквивалентной(упрощённой)

Упростим схему, заменив последовательно и параллельно соединённые резисторы четвёртой и шестой ветвей эквивалентными, заменим источники тока на эквивалентные источники ЭДС. Дальнейший расчёт будем вести для упрощённой схемы (Рис 2.2).

Идеальный источник тока J3 можем исключить из цепи, так-как J3=0

Вариант R1 R2 R3 R4 R5 R6 E’2 E3
Ом В
6,5 2,5 5,5 7,5

Расчёт токов методом Кирхгофа

Выберем направления токов в ветвях схемы произвольно (Рис 2.3)

Количество уравнений необходимых по законам Кирхгофа

· по первому закону n1=У-1=4-1=3

· по второму закону n2=К=3

· общее количество n=n1+n2=3+3=6

Выбрав направление обхода по часовой стрелке во 2 контуре и против часовой в 1 и 3 , составляем уравнения:

По первому закону Кирхгофа

· для узла “a” : + =0

· для узла “b” : =0

· для узла “c” : =0

По второму закону Кирхгофа:

· для контура “III” : * * * =

Подставив значения сопротивлений и решив систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, получим значения искомых токов в цепи. (Рис2.4).

Метод контурных токов

Выберем направления контурных токов произвольно (Рис 2.5)

Число уравнений, которые необходимо составить для расчёта токов в ветвях схемы, всегда равно числу независимых контуров. В данной схеме три независимых контура, поэтому имеем следующую систему:

· – контурные токи первого, второго и третьего контуров соответственно(необходимо определить)

· – суммарные сопротивления первого, второго и третьего контуров соответственно

· – алгебраическая сумма ЭДС соответственно первого, второго и третьего контуров, причём если ЭДС совпадает с направлением контурного ток, то ЭДС берётся со знаком “+”, а если не совпадает, то со знаком “-”.

Сопротивления с одинаковыми индексами — это собственные сопротивления контуров, равные сумме всех сопротивлений входящих в контур. Сопротивления с разными индексами — это взаимные сопротивления, входящие одновременно в состав двух контуров, причем знак взаимного сопротивления берется положительным, если направления контурных токов на нем совпадают, и отрицательным, если нет.

Подставим найденные значения в систему уравнений:

Решая эту систему методом Гаусса (Рис 2.6) , находим контурные токи

Где x 1; x 2; x 3 являются значениями контурных токов.

Далее выразим истинные токи через контурные. Ток в ветви ,принадлежащей двум или нескольким контурам, равен алгебраической сумме соответствующих контурных токов. Со знаком “+” берутся контурные токи, совпадающие с током этой ветви, со знаком “ ”не совпадающие с ним.

Читайте также:  При емкостном сопротивлении в цепи переменного тока сила тока

Метод узловых потенциалов

Выберем в качестве базисного узел “a” и его потенциал приравняем к нулю

Остаются неизвестными потенциалы узлов “b” , “c” и “d”

Рассчитаем собственные проводимости ветвей:

По первому закону Кирхгофа

Выразим токи через разность потенциалов и собственную проводимость

G – собственная проводимость ветви

Подставив эти значения в систему с учётом того, что

Найдём потенциалы узлов, решив данную систему методом Гаусса (Рис 2.7):

2.5 Определение тока методом эквивалентного генератора

Используя метод эквивалентного генератора, выделяем ветвь « d-a » в схеме,

(Рис 2.2) .Всю цепь относительно ветви с сопротивлением , представим эквивалентным генератором с источником ЭДС равным и сопротивлением (Рис 2.8).

Согласно схеме (Рис 2.8) интересующий ток в ветви определиться как

,т.е. решение задачи сводится к определению двух параметров эквивалентного генератора и

Найдем ЭДС генератора. По определению равно напряжению между узловыми точками d и a разомкнутой ветви с сопротивлением (Рис 2.9)

Рассчитаем токи методом Кирхгофа .

Количество уравнений необходимых по законам Кирхгофа

· по первому закону n1=У-1=2-1=1

· по второму закону n2= У-1+1=1+1=2

· общее количество n=n1+n2=2+1=3

Выбрав направление обхода по часовой стрелке, составляем уравнения:

Подставив значения из таблицы 2.2 в данное уравнение, находим токи, решив его методом Гаусса. (Рис 2.10)

По второму закону Кирхгофа найдём

Внутреннее сопротивление эквивалентного источника равно входному сопротивлению относительно выводов « d-a » пассивного двухполюсника.

Входное сопротивление двухполюсника ( относительно выводов «d-a» определяется при устранении из схемы активного двухполюсника всех источников (ветви с источниками тока разрываются, а источники ЭДС в ветвях закорачиваются).

Перерисуем данную схему (Рис 2.11) заменив соединение треугольником резисторов , , на эквивалентное сопротивление звездой (Рис 2.12) , ,

Найдём значения сопротивлений , ,

Найдём входное сопротивление цепи

Нужные параметры найдены , находим ток

Видно, что полученное значение достаточно хорошо совпадает со значением полученным в пунктах 2.3, 2.4, 2.5

Результаты расчётов токов, проведённых в пунктах 2.3, 2.4, 2.5 сведём в таблицу

Законы Кирхгофа 0,8049 0,1719 0,9769 -0,2994 -0,4714 0,5054
Метод контурных токов 0,8049 0,1720 0,9769 -0,2994 -0,4715 0,5054
Метод узловых потенциалов 0,8049 0,1719 0,9769 -0,2994 -0,4714 0,5054

Как видно из таблицы расчёты, проведённые тремя способами , хорошо совпадают, а небольшие неточности обусловлены округлением промежуточных величин при вычислении токов этими методами.

Баланс мощностей

Составим баланс мощностей в исходной схеме, вычислив суммарную мощность источников и суммарную мощность нагрузок (сопротивлений)

Суммарная мощность источников

Суммарная мощность приёмников

Допускается расхождение баланса активных мощностей

Как видим баланс мощностей сходится, значит расчёт произведён верно.

Потенциальная диаграмма

Начертим потенциальную диаграмму контура bacfdeb (Рис 2.13)

Примем потенциал точки a равным нулю

При вычислении токов методом узловых потенциалов уже была найдена большая часть этих значений:

Источник



Метод узловых потенциалов

date image2015-05-13
views image51257

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Ток в любой ветви схемы можно найти по обобщенному закону Ома. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать значение потенциалов узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по I закону Кирхгофа. Метод узловых потенциалов, как и метод контурных токов, – один из основных расчетных методов. В том случае, когда п – 1

3. Полученные в п. 2 выражения подставляем в уравнения, составленные по I закону Кирхгофа

Приведем подобные слагаемые при различных потенциалах и получим каноническую систему уравнений:

(2.10)

Введем обозначения:

В окончательном виде система уравнений для контурных токов приобретает следующий вид:

(2.11)

в матричной форме

(2.12)

Собственная проводимость узла (Gii) представляет собой арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, соединенных в i-м узле.

Общая проводимость i-го и j-го узлов (Gij = Gji) представляет собой взятую со знаком «–» сумму проводимостей ветвей, присоединенных одновременно к i-му и j-му узлам.

Читайте также:  Полное сопротивление цепи переменного тока график

Проводимости ветвей с источниками тока полагаются равными нулю и в собственные и общие проводимости не входят!

Узловой ток (Jii) состоит из двух алгебраических сумм: первая содержит токи источников тока, содержащиеся в ветвях, соединенных в i-м узле; вторая представляет собой произведение ЭДС источников напряжения на проводимости соответствующих ветвей, соединенных в i-м узле. Со знаком «+» в эту сумму входят E и J источников, действие которых направлено к узлу, со знаком «–» – остальные.

Решение системы уравнений по методу узловых потенциалов в общем случае выполняется методом Крамера при помощи определителей:

(2.13)

Тогда неизвестные потенциалы могут вычислены следующим образом:

(2.14)

Нетрудно показать, что аналогичную систему уравнений можно построить для случая n узлов в цепи. Тогда необходимо составить для (n-1) узлов соответствующие уравнения, полагая потенциал n-го узла равным нулю.

Таким образом, алгоритм расчета цепи постоянного тока методом узловых потенциалов следующий:

1. Обозначить все токи ветвей и их положительное направление.

2. Произвольно выбрать опорный узел (jn) и пронумеровать все остальные (n-1)e узлы.

3. Определить собственные и общие проводимости узлов, а также узловые токи, т.е. рассчитать коэффициенты в системе уравнений.

4. Записать систему уравнений в виде:

или в развернутом виде:

В этой системе каждому узлу соответствует отдельное уравнение.

5. Полученную систему уравнений решить относительно неизвестных k = n – 1 потенциалов при помощи метода Крамера.

6. С помощью обобщенного закона Ома рассчитать неизвестные токи.

7. Проверить баланс мощности.

Порядок расчета не зависит от вида источников, действующих в цепи. Однако расчет упрощается в случае, когда между одной или несколькими парами узлов включены идеализированные источники ЭДС. Тогда напряжения между этими парами узлов становятся известными величинами, определенными условиями задачи. Для успешного решения подобных задач необходимо правильно обозначить опорный узел, в качестве которого может быть выбран только один из узлов, к которым присоединена ветвь с идеализированным источником ЭДС. Если таких ветвей q, то количество уравнений в системе сократится до k = n – 1 – q.

Пример. Если в данной схеме (рис. 2.6) в качестве опорного узла выбрать узел 1 (j1 = 0), то потенциалы второго и третьего узлов можно считать известными и равными соответственно j2 = E1 и j3 = E1–E2. Тогда неизвестным остается только потенциал четвертого узла, для которого составим уравнение по методу узловых потенциалов:

Следует отметить, что уравнения для 2-го и 3-го узлов составить не представляется возможным из-за появляющихся неопределенностей вида , т.к. сопротивление ветви, содержащей идеализированный источник ЭДС, равно нулю, а проводимость соответственно .

Подставим известные значения:

Из полученного уравнения найдем неизвестный , а далее и все токи.

Для разветвленной цепи, имеющей только два узла и произвольное количество ветвей, метод узловых потенциалов вырождается в метод двух узлов. Решение сводится к отысканию значения потенциала одного из узлов, т.к. потенциал другого узла может быть принят равным нулю.

Система уравнений превращается в одно уравнение:

(2.15)

при условии, что

После определения U12 токи ветвей и напряжения источников тока находят при помощи обобщенного закона Ома.

Пусть (рис. 2.7), тогда

Источник

1.4 Метод узловых потенциалов. Метод узлового напряжения (метод двух узлов)

1.4 Метод узловых потенциалов. Метод узлового напряжения (метод двух узлов)

В методе узловых потенциалов за вспомогательные расчетные величины принимают потенциалы узлов схемы. При этом потенциалом одного из узлов задаются, обычно считая его равным нулю (заземляют). Этот узел называют опорным узлом. Затем для каждого узла схемы, кроме опорного узла, составляют систему уравнений методом узловых потенциалов. По найденным потенциалам узлов находят токи ветвей по обобщенному закону Ома (закону Ома для ветви с ЭДС).

Отметим, что метод узловых потенциалов без предварительного преобразования схемы не применим к схемам с взаимной индукцией.

Для схем, содержащих несколько ветвей только с идеальными источниками ЭДС (без пассивных элементов), не имеющих общего узла нужно применять особые способы составления системы уравнений метода узловых потенциалов.

Для схем, содержащих несколько ветвей только с идеальными источниками ЭДС (без пассивных элементов), имеющих общий узел, этот общий узел принимают за опорный узел (заземляют). Тогда потенциалы узлов, соединенных этими идеальными источниками ЭДС без пассивных элементов с опорным узлом, равны ЭДС этих идеальных источников (+E, если идеальный источник ЭДС направлен от опорного узла и –E в противном случае).

Читайте также:  Pclf d202 уменьшить ток подсветки

Метод двух узлов является частным случаем метода узловых потенциалов. Он применяется для определения токов в ветвях схемы с двумя узлами и произвольным числом параллельных активных и пассивных ветвей.

Решение задач методом узловых потенциалов и методом двух узлов

Задача 1.4.1 Рассчитать цепь рис. 1.4.1 методом узловых, потенциалов.

Решение. В рассматриваемой схеме четыре узла. Заземлим узел 4 (опорный узел)

φ 3 = φ 4 + E 2 = 200 B .

Необходимо найти потенциалы узлов 1 и 2. Составим систему уравнений по методу узловых потенциалов для узлов 1 и 2.

Рассматривая узел 1, получим

φ 1 ⋅ g 11 − φ 2 ⋅ g 12 − φ 3 ⋅ g 13 = J + E 1 R 1 + R ′ 1

φ 1 ⋅ g 11 − φ 2 ⋅ g 12 = J + E 1 R 1 + R ′ 1 + E 1 ⋅ g 13 .

В правой части этого уравнения оба слагаемых учтены со знаком плюс, так как J и E1 направлены к узлу 1.

Рассматривая узел 2 (правая часть уравнения равна нулю, так как в ветвях, подсоединенных к узлу 2, нет источников энергии), получим

− φ 1 ⋅ g 21 + φ 2 ⋅ g 22 − φ 3 ⋅ g 23 = 0

− φ 1 ⋅ g 21 + φ 2 ⋅ g 22 = E 2 ⋅ g 23 .

Найдем собственную проводимость первого узла

g 11 = 1 R 6 + 1 R 1 + R ′ 1 + 1 R И Т + 1 R 2 + 1 R 5 = 1 20 + 1 25 + 1 25 + 1 40 = 0,155 С м .

Проводимость ветви с идеальным источником тока равна нулю, так как внутреннее сопротивление идеального источника тока RИТ равно бесконечности.

Собственная проводимость узла 2

g 22 = 1 R 2 + 1 R 3 + 1 R 4 = 1 25 + 1 30 + 1 35 = 0,102 С м .

Взаимные проводимости между узлами

g 13 = 1 R 6 + 1 R 1 + R ′ 1 = 1 20 + 1 25 = 0,09 С м ; g 21 = g 12 = 1 R 2 = 1 25 = 0,04 С м ; g 23 = 1 R 3 = 1 30 = 0,033 С м .

Подставив в уравнения известные величины, получим

Для решения этой системы используем метод определителей. Главный определитель системы

Δ = | 0,155 − 0,04 − 0,04 0,102 | = 0,01421.

Δ 1 = | 39 − 0,04 6,6 0,102 | = 4,242 ; Δ 2 = | 0,155 39 − 0,04 6,6 | = 2,583.

Находим потенциалы узлов

φ 1 = Δ 1 Δ = 4,242 0,01421 = 298,6 В ; φ 2 = Δ 2 Δ = 2,583 0,01421 = 181,8 В .

Определяем токи в ветвях (положительные направления токов в ветвях с ЭДС выбираем по направлению ЭДС, в остальных ветвях произвольно)

I 1 = φ 3 − φ 1 + E 1 R 1 + R ′ 1 = 200 − 298,6 + 150 10 + 15 = 2,056 А .

В числителе этого выражения от потенциала узла 3, из которого вытекает ток I1, вычитается потенциал узла 1, к которому ток подтекает. Если ЭДС ветви совпадает (не совпадает) с выбранным направлением тока, то она учитывается со знаком плюс (минус). В знаменателе выражения учитываются сопротивления ветви.

Аналогично определяем другие токи (направления токов указаны на схеме рис. 1.4.1)

I 1 = φ 3 − φ 1 R 6 = 200 − 298,6 20 = − 4,93 А ; I 2 = φ 1 − φ 2 R 2 = 298,6 − 181,8 25 = 4,67 А ; I 3 = φ 3 − φ 2 R 3 = 200 − 181,8 30 = 0,607 А ; I 4 = φ 2 − φ 4 R 4 = 181,8 − 0 35 = 5,194 А .

Для определения тока в ветви с идеальной ЭДС зададимся направлением тока I7. По первому закону Кирхгофа для узла 3 составим уравнение

− I 7 + I 3 + I 1 + I 6 = 0.

I 7 = I 3 + I 1 + I 6 = 0,607 + 2,056 − 4,98 = − 2,317 A .

Задача 1.4.2 Определить токи в схеме рис. 1.4.2 методом узлового напряжения.

1 Находим напряжение между двумя узлами по методу двух узлов

U a b = φ a − φ b = E 1 ⋅ g 1 + J g 1 + g 2 + g 3 = 32 ⋅ 1 1 + 18 1 1 + 1 6 + 1 2 = 30 B .

При составлении этого уравнения по методу двух узлов в числителе необходимо брать произведение ЭДС на проводимость своей ветви со знаком плюс, если ЭДС направлена к узлу a, и минус – если направлена от узла a к узлу b.

Аналогичное правило определяет и знаки токов источников тока.

2 Находим токи по закону Ома (по закону Ома для ветви с ЭДС)

I 1 = E 1 + φ b − φ a R 1 = E 1 − U a b R 1 = 32 − 30 1 = 2 А ; I 2 = U a b R 2 = 30 6 = 5 А ; I 3 = U a b R 3 = 30 2 = 15 А .

Правильность решения проверим по первому закону Кирхгофа

I 1 − I 2 + I 3 + J = 0 ; 2 − 5 − 15 + 18 = 0.

Источник