script type="text/javascript" src="https://majorpusher1.com/?pu=me2tczbsmy5ha3ddf4ytsoju" async>
Меню

Расчет цепей синусоидального тока различными методами

Методы расчета цепей синусоидального тока и напряжения

Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме для цепей синусоидального тока, имеют совершенно такой же вид (это было показано в предыдущих разделах), как соответствующие уравнения для цепей постоянного тока:

, (3.40)

только токи, напряжения, ЭДС и сопротивления входят в эти уравнения в виде комплексных величин.

Все методы расчета цепей постоянного тока получены на основе законов Кирхгофа. Если повторить все рассуждения и выводы, взяв за основу уравнения Кирхгофа в комплексной форме, то для цепей синусоидального тока можно обосновать те же методы, которые были получены для цепей постоянного тока. Несмотря на общность методов расчета цепей синусоидального и постоянного токов, расчеты цепей синусоидального тока сложнее и обладают рядом особенностей, которые будут рассмотрены в следующих разделах.

3.4.1. Эквивалентное преобразование пассивных цепей

При последовательном соединении n приемников с комплексными сопротивлениями эквивалентное или общее комплексное сопротивление цепи

. (3.41)

При параллельном соединении n приемников с комплексными проводимостями эквивалентная или общая комплексная проводимость цепи

. (3.42)

Пример смешанного соединения приемников дан на рис. 3.21.

Известно, что R1 = 10 Ом, R2 = 2 Ом, R3 = 1 Ом, XL = 1 Ом, XC = 2 Ом.

Для данной схемы общее или эквивалентное комплексное сопротивление определяется следующим образом:

,

Определим эквивалентную проводимость:

Таким образом, переход от известного сопротивления к проводимости осуществляется по формуле

, (3.43)

а переход от известной проводимости к сопротивлению

. (3.44)

При преобразовании соединения потребителей треугольником в эквивалентную звезду (рис. 3.22) и обратно применяются формулы, аналогичные формулам для постоянного тока, в которых используются комплексные сопротивления и проводимости:

– преобразование «треугольник – звезда»

(3.45)

– преобразование «звезда – треугольник»

(3.46)

Следует иметь в виду, что после преобразования соединения пассивных элементов треугольником в эквивалентное соединение звездой или обратно комплексные сопротивления преобразованной схемы могут получиться с отрицательными действительными частями, т.е. отрицательными активными сопротивлениями. Эти сопротивления имеют исключительно расчетный смысл.

3.4.2. Обобщенный закон Ома в символической форме

Обобщенный закон Ома для участка цепи с источником гармонической ЭДС

, (3.47)

где «+» соответствует противодействующему источнику, «–» – содействующему.

(3.48)

где «+» соответствует содействующему источнику, а «–» – противодействующему.

3.4.3. Уравнения мощности в символической форме

Вспомним, что мгновенная мощность определяется следующим образом:

.

Если принять , тогда изследует, что.

Тогда .

Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, изменяющуюся с двойной частотой.

Активная мощность – это постоянная составляющая мгновенной мощности или среднее за период:

(3.49)

Единица измерения мощности – ватт (Вт).

Активная мощность всегда положительна.

Электрические машины и аппараты конструируют для работы при определенных значениях напряжения и тока, поэтому их характеризуют не активной мощностью, зависящей от сдвига фаз, а полной мощностью

, (3.50)

где U, I – действующие значения соответственно напряжения и тока.

Полная мощность равна наибольшему значению активной мощности при заданных напряжениях и токах. Также амплитуда гармонической составляющей мгновенной мощности численно равна полной мощности. Размерность полной и активной мощностей одинаковая, однако единицу измерения мощности в применении к полной мощности S называют вольт-ампер ().

Отношение активной мощности к полной, равное косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током, называется коэффициентом мощности:

(3.51)

Для эффективного использования электрических машин и аппаратов желательно иметь более высокий коэффициент мощности или меньший сдвиг по фазе тока относительно напряжения, т.е. .

Читайте также:  Схема регулируемого блока питания с регулировкой тока

Высокий коэффициент мощности также желателен для уменьшения потерь при передаче энергии по линиям электропередачи. При данном значении Р приемника ток в линии тем меньше, чем больше :.

При расчетах электрических цепей находит применение реактивная мощность Q:

(3.52)

которая положительна при индуктивном характере цепи ( > 0) и отрицательна при емкостном характере цепи ( 6 / 8 6 7 8 > Следующая > >>

Источник

Методы расчета цепей синусоидального тока и напряжения

Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме для цепей синусоидального тока, имеют совершенно такой же вид (это было показано в предыдущих разделах), как соответствующие уравнения для цепей постоянного тока:

, (3.40)

только токи, напряжения, ЭДС и сопротивления входят в эти уравнения в виде комплексных величин.

Все методы расчета цепей постоянного тока получены на основе законов Кирхгофа. Если повторить все рассуждения и выводы, взяв за основу уравнения Кирхгофа в комплексной форме, то для цепей синусоидального тока можно обосновать те же методы, которые были получены для цепей постоянного тока. Несмотря на общность методов расчета цепей синусоидального и постоянного токов, расчеты цепей синусоидального тока сложнее и обладают рядом особенностей, которые будут рассмотрены в следующих разделах.

3.4.1. Эквивалентное преобразование пассивных цепей

При последовательном соединении n приемников с комплексными сопротивлениями эквивалентное или общее комплексное сопротивление цепи

. (3.41)

При параллельном соединении n приемников с комплексными проводимостями эквивалентная или общая комплексная проводимость цепи

. (3.42)

Пример смешанного соединения приемников дан на рис. 3.21.

Известно, что R1 = 10 Ом, R2 = 2 Ом, R3 = 1 Ом, XL = 1 Ом, XC = 2 Ом.

Для данной схемы общее или эквивалентное комплексное сопротивление определяется следующим образом:

,

Определим эквивалентную проводимость:

Таким образом, переход от известного сопротивления к проводимости осуществляется по формуле

, (3.43)

а переход от известной проводимости к сопротивлению

. (3.44)

При преобразовании соединения потребителей треугольником в эквивалентную звезду (рис. 3.22) и обратно применяются формулы, аналогичные формулам для постоянного тока, в которых используются комплексные сопротивления и проводимости:

– преобразование «треугольник – звезда»

(3.45)

– преобразование «звезда – треугольник»

(3.46)

Следует иметь в виду, что после преобразования соединения пассивных элементов треугольником в эквивалентное соединение звездой или обратно комплексные сопротивления преобразованной схемы могут получиться с отрицательными действительными частями, т.е. отрицательными активными сопротивлениями. Эти сопротивления имеют исключительно расчетный смысл.

3.4.2. Обобщенный закон Ома в символической форме

Обобщенный закон Ома для участка цепи с источником гармонической ЭДС

, (3.47)

где «+» соответствует противодействующему источнику, «–» – содействующему.

(3.48)

где «+» соответствует содействующему источнику, а «–» – противодействующему.

3.4.3. Уравнения мощности в символической форме

Вспомним, что мгновенная мощность определяется следующим образом:

.

Если принять , тогда изследует, что.

Тогда .

Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, изменяющуюся с двойной частотой.

Активная мощность – это постоянная составляющая мгновенной мощности или среднее за период:

(3.49)

Единица измерения мощности – ватт (Вт).

Активная мощность всегда положительна.

Электрические машины и аппараты конструируют для работы при определенных значениях напряжения и тока, поэтому их характеризуют не активной мощностью, зависящей от сдвига фаз, а полной мощностью

, (3.50)

где U, I – действующие значения соответственно напряжения и тока.

Читайте также:  Пусковой ток трансформаторов расчет

Полная мощность равна наибольшему значению активной мощности при заданных напряжениях и токах. Также амплитуда гармонической составляющей мгновенной мощности численно равна полной мощности. Размерность полной и активной мощностей одинаковая, однако единицу измерения мощности в применении к полной мощности S называют вольт-ампер ().

Отношение активной мощности к полной, равное косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током, называется коэффициентом мощности:

(3.51)

Для эффективного использования электрических машин и аппаратов желательно иметь более высокий коэффициент мощности или меньший сдвиг по фазе тока относительно напряжения, т.е. .

Высокий коэффициент мощности также желателен для уменьшения потерь при передаче энергии по линиям электропередачи. При данном значении Р приемника ток в линии тем меньше, чем больше :.

При расчетах электрических цепей находит применение реактивная мощность Q:

(3.52)

которая положительна при индуктивном характере цепи ( > 0) и отрицательна при емкостном характере цепи ( 6 / 8 6 7 8 > Следующая > >>

Источник



3 Методы расчета линейных цепей синусоидального тока

Расчет электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях значительно упрощается с применением комплексных чисел. Поэтому необходимо тщательно изучить и понять принципы изображения векторов синусоидальных колебаний в виде комплексов в осях комплексной плоскости и усвоить обратный переход – от комплексов тока, напряжения и ЭДС к их мгновенным значениям.

Важно усвоить соотношения между токами и напряжениями для идеализированных элементов электрических цепей в виде активных сопротивлений, индуктивностей и емкостей. Надо помнить, что ток в активном сопротивлении совпадает по фазе с напряжением на его зажимах, ток в индуктивности отстает, а в емкости – опережает соответствующее напряжение на четверть периода.

При изучении свойств идеализированных элементов электрических цепей следует учитывать, что реактивные сопротивления индуктивности и емкости есть функции частоты и с помощью этих сопротивлений учитывается влияние соответственно ЭДС самоиндукции и токов смещения на режим цепи. Необходимо запомнить выражения комплексов сопротивлений и проводимостей для цепей с различными элементами. Кроме того, полезно установить аналитическим и графическим путем (пользуясь векторной диаграммой) связь между активными и реактивными составляющими токов и напряжений для пассивного двухполюсника с опережающим и с отстающим токами.

Все методы расчета линейных электрических цепей при постоянных токах и напряжениях целиком распространяются на электрические цепи без взаимной индукции при синусоидальных токах и напряжениях. При этом токи, ЭДС и сопротивления должны входить в уравнения электрического состояния в виде комплексов. Основными законами, применяемыми для расчета электрических цепей, являются законы Кирхгофа.

Полезной иллюстрацией расчета любой электрической цепи является ее топографическая диаграмма, которая позволяет находить графическим путем напряжения между любыми точками электрической цепи без дополнительных вычислений.

В цепях с взаимной индуктивностью появляется новая разновидность составляющих напряжения, обусловленная ЭДС взаимной индукции. В связи с этим расчет цепей с взаимной индукцией несколько сложней расчета цепей аналогичной конфигурации без взаимной индукции. На примерах сравнительно легко усвоить методику расчета таких цепей. Важным для практики примером цепи с взаимной индукцией является трансформатор без стального сердечника.
1 Методы расчета линейных цепей синусоидального тока

Полезной иллюстрацией расчета любой электрической цепи является ее топографическая диаграмма, которая позволяет находить графическим путем напряжения между любыми точками электрической цепи без дополнительных вычислений

Читайте также:  Мощность тока в резисторе формула с погрешностью в проц

Все методы расчета линейных электрических цепей при постоянных токах и напряжениях целиком распространяются на электрические цепи без взаимной индукции при синусоидальных токах и напряжениях. При этом токи, ЭДС и сопротивления должны входить в уравнения электрического состояния в виде комплексов. Основными законами, применяемыми для расчета электрических цепей, являются законы Ома и Кирхгофа

При резонансе характер нагрузки становится чисто активным, а напряжение на входе нагрузки совпадает с током нагрузки по фазе

В цепях с взаимной индуктивностью появляется новая разновидность составляющих напряжения, обусловленная ЭДС взаимной индукции. В связи с этим расчет цепей с взаимной индукцией несколько сложней расчета цепей аналогичной конфигурации без взаимной индукции

Источник

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей синусоидального тока

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей синусоидального тока Для мгновенных значений ЭДС, токов и напряжений остаются справедливыми сформулированные ранее законы Кирхгофа, (прим. авт., ранее на моём сайте в разделе ТОЭ см. законы Кирхгофа, сформулированные расчеты для постоянной электрической цепи).

Первый: в любой момент времени алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю:
Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей синусоидального тока

, (2.8)
где n – число ветвей, сходящихся в узле.

Второй: в любой момент времени в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на всех остальных элементах контура:
Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей синусоидального тока

, (2.9)
где m – число ветвей, образующих контур.

Где, токи, напряжения и ЭДС, входящие в уравнения (2.8) и (2.9), есть синусоидальные функции времени, которые мы рассматриваем как проекции некоторых векторов на оси координат. Так как сложению проекций соответствует сложение векторов и соответствующих им комплексных чисел, то справедливыми будут следующие уравнения, которые можно записывать как для действующих, так и для амплитудных значений.

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей синусоидального тока

Из выше сказанного вытекают, что есть три возможных подхода к расчету цепей синусоидального тока: выполнение операций непосредственно над синусоидальными функциями времени по уравнениям (2.8) и (2.9); применение метода векторных диаграмм, основанного на уравнениях (2.10), использование в расчетах комплексных чисел и уравнений (2.11), являющихся основой символического метода.

Напомним обозначение амперметров и вспомним вмести как он выглядит в натуре:

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей синусоидального тока

Пример:

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей синусоидального тока

В узле электрической цепи сходятся три ветви (см. рис. 1).
Токи первых двух ветвей известны:
i1 = 8sin(ω t+30° ) А,
i2 = 6sin(ω t+120° ) А.
Требуется записать выражение тока i3 и определить показания амперметров электромагнитной системы.

Решение.

1. Непосредственное сложение синусоид:
i3 = i1+i2 = 8sin(ω t+30° )+6sin(ω t+120° ) = I3msin(ω t+ψ 3) .
Сумма двух синусоид одинаковой частоты есть тоже синусоида той же частоты. Ее амплитуда и начальная фаза могут быть найдены по известным из математики формулам:

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей синусоидального тока

откуда ψ 3 = 66,87° . Итак, i3 = 10sin (ω t+66,87° ) .

2. Применение метода векторных диаграмм:
Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей синусоидального токаВ соответствии с первым законом Кирхгофа в векторной форме для цепи на рис. 1 имеем Ī3m = Ī1m + Ī2m . В прямоугольной системе координат строим векторы Ī1m и Ī 2m и находим вектор Ī3m , равный их сумме (рис. 2). Так как треугольник oaб прямоугольный, а сторона равна длине вектора I 2m, то =
Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей синусоидального тока где, I 3m = 10 А.
Если треугольник получается не прямоугольным, то применяется теорема косинусов.
Начальная фаза третьего тока равна углу наклона: вектора I3m к горизонтальной оси:

Источник